3.3 幂函数（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 （基础知识+基本题型） 知识点一 幂函数的概念 1. 概念 把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 2. 幂函数的特征 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③的指数为常数.对于形如，等的函数都不是幂函数. 【辨析】幂函数与指数函数的区别： 3.如何正确理解幂函数的概念? 形如的函数叫幂函数，这里需要满足条件：①系数为1，②指数为常数，③后面不加任何项． 例如等均不是幂函数，另外还要注意与其指数函数的区别．例如：是幂函数，是指数函数． 1． 形如（其中是自变量，是常数）等形式的函数都不是幂函数； 2．中; 3．确定一个幂函数，只需确定即可； 4．课本中重点涉及五个常见的幂函数：除此之外，还有必须熟悉另外五个幂函数，它们是：． 知识点二 幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，作出幂函数 的 图象如图所示. 幂函数在第一象限的图象特征： （1）当时，图象过点（1,1），下凸递增，如. （2）当时，图象过点（1,1），上凸递增，如. （3）当时，图象过点（1,1），下凸递减，且向两坐标轴无限逼近，如. 知识点三 幂函数的性质 函数 定义域 值域 图象 1．由以上特征可以得到上述幂函数的性质如下： （1）在区间上都有定义，并且图像都经过（1,1）． （2）若，则幂函数的图像通过原点，并且在区间上增函数． （3）若，则幂函数在区间上减函数，在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方且无线地逼近轴；当趋于时，图像在轴上方且无限地逼近轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 知识点四　幂函数的综合问题 对幂函数性质的综合考查，主要体现为单调性、奇偶性，处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质 1． 幂函数的单调性 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数. 2． 幂函数的奇偶性 令（其中互质，）. （1）若为奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时，是奇函数；当是偶数时，是偶函数. （2）若为偶数，则必是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数. 幂函数的凸性 1． 上凸函数、下凸函数的定义 设函数在上有定义，若对中任意不同两点都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数. 设函数在上有定义，若对中任意不同两点都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数. 这个定义从几何形式上看就是：在函数的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是上凸函数；如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断，一般开口向下的二次函数是上凸函数，开口向上的二次函数是下凸函数. 2．幂函数的凸性 （1）幂函数，在时，函数是下凸函数； （2）幂函数，，在时，函数是上凸函数； （3）幂函数，在时，函数是下凸函数. 考点一、求函数解析式 例1.已知是幂函数，求、的值． 【答案】 【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组． 由题意得解得 即为所求． 【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 考点二、幂函数的图象 例2图3-3-2中曲线是幂函数在第一象限内的图像，已知取四个值，则对应曲线的值依次为（ ）． A． B． C． D． 【解析】由于幂函数的图像，在第一象限内直线的右侧从上到下相应的指数由大变小，故曲线对应的值为，曲线对应的值为，曲线对应的值为，曲线对应的值为． 【答案】B 【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内