4.2 指数函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.2 指数函数 学习导航 1、 理解指数函数的概念。 2、 .了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用。 3、 .掌握指数函数的图象和性质。 4、 能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题。 教学过程 一、指数函数的概念 1、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2、两类指数模型 1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 例题1 1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是指数函数的个数是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】 根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 根据指数函数的定义，可知形如且的函数是指数函数， 所以只有是指数函数，①是幂函数，②、④、⑤都称为指数型函数. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了指数函数定义及其应用，其中解答中熟记指数函数的定义是解答的关键，属于基础题. 2、 指数函数的图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 2、比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 3、解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解． (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 4、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 例题2 2．函数的图象一定过点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据，即可求出定点. 【详解】 因为，所以令，得， 故函数的图象一定过点. 故选：A 例题3 3．函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 ，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可. 【详解】 ， 当时，因为，所以过点且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A、C、D， 故选：B 课时训练 1．如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ） A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 【答案】B 【分析】 根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】 根据函数图象可知函数①y=；②y=为减函数，且时，②y=①y=， 所以， 根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且时，③y=c1④y=d1， 所以 故选：B 【点睛】 本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 2．在同一直角坐标系中，与的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题根据两个函数图像所过的点以及两个函数的单调性直接判断即可. 【详解】 解：因为的图象为过点的递增的指数函数图象，所以排除选项C，D； 因为的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项A， 故选：B. 【点睛】 本题考查指数函数的图像与对数型函数的图像，是基础题. 3．已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令解析式中的指数，可得，再代入解析式中可得的值，即可得到定点的坐标. 【详解】 解：由指数函数的图像恒过定点， 故可令，解得，当时，， 即无论取何值，当时，都恒成立，即恒过点， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了指数函数的图像和性质，主要是指数函数的图像恒过定点的应用，属于基础题. 4．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】C