3.2 函数的基本性质-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 学习导航 1、 了解函数的单调区间、单调性等概念。 2、 了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义。 3、 了解函数奇偶性的定义。 4、 掌握用奇偶性求解析式的方法。 教学过程 一、函数单调性 1、增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 2、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 例题1 1．设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（ ） A．<f(-1)<f(2) B．f(2)<<f(-1) C．f(2)<f(-1)< D．f(-1)<<f(2) 【答案】B 【分析】 利用偶函数的性质化f(2)为f(-2)，再借助函数在区间(-∞，-1]上的单调性即可得解. 【详解】 因函数f(x)为偶函数，于是有f(-x)=f(x)，从而得f(2)=f(-2)， 又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<<-1， 所以f(2)=f(-2)<<f(-1). 故选：B 2、 函数的最（大）小值 1、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 2、求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)， 　ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)， 　ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 例题2 2．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据新定义，整理可得恒成立，在上的最小值为，所以，即可得解. 【详解】 由， 则即， 所以恒成立， 在上的最小值为， 所以， 整理可得， 解得， 实数的最大值为， 故选：D 三、奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 3、函数的奇偶性与单调性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 例题3 3．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称即可求解. 【详解】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除； 选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数. 故选：B 课时训练 1．函数是上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用代入法求函数解析式. 【详解】 当时，，所以，所以． 故选：C． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B