专题四 三角函数与解三角形-【创新教程】2017-2021五年高考数学真题分类汇编（新高考）

②若a＞０,由f′(x)＝１－ax ＝ x－a x 知,当x∈(０,a) 时,f′(x)＜０;当x∈(a,＋∞)时,f′(x)＞０,所以 f(x)在(０,a)单调递减,在(a,＋∞)单调递增,故x ＝a是f(x)在x∈(０,＋∞)的唯一最小值点． 由于f(１)＝０,所以当且仅当a＝１时,f(x)≥０． 故a＝１． (２)由(１)知,当x∈(１,＋∞)时,x－１－lnx＞０, 令x＝１＋１ ２n 得ln １＋１２n( )＜ １ ２n ,从而 ln １＋１２( )＋ln １＋ １ ２２( )＋􀆺＋ln １＋ １ ２n( )＜ １ ２＋ １ ２２ ＋􀆺＋１ ２n ＝１－１ ２n ＜１, 故 １＋１２( ) １＋ １ ２２( )􀆺 １＋ １ ２n( )＜e 而 １＋１２( ) １＋ １ ２２( ) １＋ １ ２３( )＞２,所以 m 的最小值 为３． 专题四　三角函数与解三角形 考点一 实战集训１ １．D　函数f(x)定 义 域 为 R,且f(－x)＝f(x),偶 函数; f(x)＝cosx－(２cos２x－１)＝－２cos２x＋cosx＋１＝ －２ cosx－１４( ) ２ ＋９８ ,故最大值为９ ８ ,选 D． ２．B　y＝sinx－π４( ) 向左平移 π ３ 个单位 →y＝ sinx＋π１２( ) 横坐标变为原来的２倍 　 →y＝sin x２＋ π １２( ) ３．A　当x－π６∈ － π ２＋２kπ ,π ２＋２kπ( ),k∈Z时,函 数单调递增,即x∈ －π３＋２kπ ,２π ３＋２kπ( ),k∈Z,故 答案选 A． ４．C　由题图知f －４π９( ) ＝cos － ４π ９ω＋ π ６( ) ＝０,所以 －４π９ω＋ π ６＝ π ２＋kπ (k∈Z),化简得ω＝－３＋９k４ (k∈ Z),又因为T＜２π＜２T,即２π|ω|＜２π＜ ４π |ω| ,所以１＜|ω| ＜２,当且仅当k＝－１时１＜|ω|＜２,所以ω＝３２ ,最 小正周期T＝２π|ω|＝ ４π ３ ,故选C． ５．B　本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移, 考查学生 的 数 学 运 算 能 力,逻 辑 分 析 的 能 力,因 为 f(x)＝sinx＋π３( ),所 以 周 期 T＝ ２π ω ＝２π ,故 ① 正确; f π２( )＝sin π ２＋ π ３( )＝sin ５π ６＝ １ ２≠１ ,故②不正确; 将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移 π３ 个单位 长度,得到y＝sin x＋π３( ) 的图象,故③正确． ６．A　因为函数y＝xcosx＋sinx 为奇函数,所以图像 关于原点对称,排除 C、D,因为当x＝π时,y＝－π＜ ０,排除B,故选 A． ７．BC　 由f(０)＞０,排 除 D;由 T＝π,排 除 A;因 此 选BC． 方法总结　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞０,ω＞０) 的步骤和方法: (１)求A,b;确定函数的最大值 M 和最小值m,则A ＝M－m２ ,b＝M＋m２ ; (２)求ω:确定函数的周期T,则可得ω＝２πT ; (３)求φ:常用的方法如下: ①代入法“把图像上的一个已知点的坐标代入求解 (此时A,ω,b已知)或代入图像与直线y＝b的交点 坐标求解(此时要注意交点在上升区间还是在下降区 间). ②五点法:确定φ值时,往往以寻找五点法中的某一 个点为突破口.具体如下:第一点(图像上升时与x 轴的交点),即ωx＋φ＝０;第二点(图像的“峰点”),即 ωx＋φ＝ π ２ ;第三点(图像下降时与x轴的交点),即 ωx＋φ＝π;第四点(图像的“谷点”),即ωx＋φ＝ ３π ２ ; 第五点,即ωx＋φ＝２π． ８．C　∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|, ∴f(x)是偶函数,①对; f(x)在区间 π２ ,π( ) 上单调递减,②错; f(x)在[－π,π]上有３个零点,③错; f(x)的最大值为２,④对．故选C． ９．A　函数y＝cos２x的周期为π,∴函数f(x)＝|cos２x| 的周期为π ２ ,当π ４＜x＜ π ２ 时,π ２＜２x＜π ,y＝cos２x递 减且为负值, ∴函数f(x)＝|cos２x|在区间 π４ ,π ２( ) 上单调递增． １０．D　∵f(x)＝sin ωx＋π５( )(ω ＞０),在[０,２π]有且仅有５个 零点．∴０≤x≤２π,π５≤ωx＋ π ５≤２πω＋ π ５ ,１２ ５≤ω≤ ２９ １０ ,④ 正确．如图x１,x２,x３ 为极大 值点为３个,①正确;极 小 值 点为２个或３个．②不正确． 当０＜x＜π１０ 时,π ５＜ωx＋ π ５＜ ωπ １０＋ π ５ ,当ω＝２９１０ 时, ωπ １０＋ π ５＝ ２９π １００＋ ２０π