12.3 第1课时 角平分线的性质-2021-2022学年八年级上册初二数学【名校培优课堂】同步导学案（人教版）

第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质 学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线. 难点：角平分线定理的应用. 一、知识链接 1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？ 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠ =∠ . 过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段 的长度表示点D到BC的距离. 二、新知预习 1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想 线段PD与PE的大小关系，写出结论 PD PE 第一次 第二次 第三次 2. 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则PD＝PE的是 （ ） A B C D 3.猜想： 角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的 相等. 三、我的疑惑 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1、 要点探究 探究点1：角平分线的尺规作图 活动1：如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 活动2：已知∠AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作∠AOB的平分线．并书写主要步骤. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等， 怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握. 针对训练 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 探究点2：角平分线的性质 画一画：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点 P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？ 在OC上再取几个点试一试. 证明结论： 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 要点归纳： 角的平分线上的点到角的两边的 相等. 应用所需要的条件：（1） （2） （3） 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ 典例精析 例1: 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. 方法总结：先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等，再利用这个条件证明我们需要证明的两个三角形全等. 例2:如下左图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm.. 变式：如上右图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. （2）求△APB的面积. （3）求△PDB的周长. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 针对训练 1.如图1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　） A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD 2.如图2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（　　） A. 5c