3.1.1函数的概念（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

3.1.1函数的概念 （基础知识+基本题型） 知识点一 函数的概念 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 辨析 （1）A，B都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如就不是函数. （2）集合A就是定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应. （3）集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到. （4）符号表示“x对应的函数值”，f表示对应关系 （5）“”是一个整体，不可分开，也不能理解或“f﹒x”. （6）与的区别与联系：表示当时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；表示自变量为x的函数，表示的是变量，例如，表示函数；当x=3时，，是一个常量. 拓展 函数的概念中强调的“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空集数A中的任意一个（任意性）数x，在非空数集B中都有（存在性）唯一确定（唯一性）的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数. 知识点二 函数的三要素 由函数的定义，知函数有三个要素：定义域A、对应关系f、值域，其中核心是对应关系f，它是函数关系的本质特征，的意义：y等于x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以它是函数的核心. 1. 函数的定义域 函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，那么定义域是使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围，列不等式（组成）求函数的定义域时，考虑问题要全面，找出所有制约自变量取值的条件. 提示 求函数定义域的一般原则： （1）若为整式，则其定义域为实数集R; （2）若是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合； （3）若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； （4）若是由几部分数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分数学式子都有意义的实数的集合，即交集： （5）的定义域是. 拓展 没有给出具体的函数解析式的函数称为抽象函数，抽象函数的定义域(1)函数的定义域是指x的取值范围所组成的集合.（2）函数的定义域是指x的取值范围，而不是的取值范围.（3）已知f(x)的定义域A，求的定义域，其实质是已知的取值范围为A，求出x 的取值范围.（4）已知的定义域为B，求的定义域，其实质是已知中x的取值范围为B，求出的范围（值域），此范围就是的定义域.（5）在同一对应关系f下的取值范围相同，即三个函数中的t，，的取值范围相同. 2.函数的对应关系 对应关系是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域之间的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，符号指的是y为x在对应关系而入下的对应值，而则是“对应”得以实现的方法和途径，是联系与的纽带，是一个整体，只是一个函数符号. 例示 已知，求，，，. 解：；；； 3.函数的值域 函数的值域是对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合.函数的定义域和对应关系决定值域. 拓展 求函数的值域是函数中的重点，也是难占为，虽然给定了函数的定义域及其对应关系后，值域也就完全确定了，但求值域时要注意选择恰当的方法，常用的方法有： ②①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域. ②配方法：对二次函数的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域. ③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而可利用基本函数的取值范围求函数的值域. ④分离常数法：将形如的函数，先分离常数，变形过程为＝＝，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. ⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 总之，求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，应注意选择最优解法，另外要特别注意定义域. 知识点三 函数相等 定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等. 辨析 ⑴当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才为同一函数.换言之：①定义域不同，两函数不同；②对应关系不同，两函数不同；③即使定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一