专题十 统计与统计案例-【创新教程】2017-2021五年高考文科数学真题分类汇编

时无论x１,x２ 取何值时,此等式均成立．因此直线 AB 过定点 ０,１２( ),得证． (２)设 AB 的 中 点 为 G,由 题 得 G 点 坐 标 为 x１＋x２ ２ ,y１＋y２ ２ æ è ç ö ø ÷,则EG→＝ x１＋x２２ －０ ,y１＋y２ ２ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷, 又BA→＝(x１－x２,y１－y２)．由题意知EG⊥BA,即EG →􀅰BA→ ＝０,即 x１＋x２２ æ è ç ö ø ÷(x１－x２)＋ y１＋y２ ２ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷(y１－y２)＝ ０．代入y＝１２x ２ 得 １ ２ (x２１－x２２)＋ x２１＋x２２ ４ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷􀅰１ ２ (x２１－x２２)整理得(x１－ x２)(x１＋x２)(x２１＋x２２－６)＝０． 因x１－x２≠０,故(x１＋x２)(x２１＋x２２－６)＝０．所以x１ ＋x２＝０或x２１＋x２２－６＝０． 由第一问中 y－１２x ２ １＝x１x－x２１　① y－１２x ２ ２＝x２x－x２２　② ì î í ï ï ïï ,为这里的(x, y)为D 点坐标,然而y＝１２ ,故－１２－ １ ２x ２ １＝x１x－ x２１,所以x＝ １ ２ x１－ １ x１( ),又因为x１x２＝－１．所以x ＝１２ x１－ １ x１( ) ＝ １ ２ x１－ －x１x２ x１ æ è ç ö ø ÷ ＝１２ (x１＋x２)． 即D 坐标为 １２ (x１＋x２),－ １ ２( )． 那 么 BA→ ＝ (x１ － x２,y１ － y２ ),ED → ＝ １２ (x１＋x２),３( )． 设θ为BA→与ED→的夹角,那么有 S四边形ADBE ＝ １ ２ BA 􀅰 EDsin θ ＝ １ ２ BA ２􀅰ED２(１－cos２θ) ＝１２ 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　|BA→|２􀅰|ED→|２－(BA→􀅰ED→)２ ＝ １ ２ [(x１－x２) ２＋(y１－y２)２]􀅰 １ ４ (x１＋x２)２＋９[ ] ２ － (x１－x２)􀅰 １ ２ (x１＋x２)－３(y１－y２)[ ] ２ 代 入 y ＝ １２ x ２ 进 行 化 简 有 S四边形ADBE ＝ １ ２ (x１－x２)２􀅰 ９＋３(x１＋x２)２＋ (x１＋x２)４ １６[ ] 若x１＋x２＝０,则S四边形ADBE＝ １ ２ (x１－x２)２􀅰９＝ ３ ２ (x１＋x２)２－４x１x２＝３． 若x２１＋x２２－６＝０,则(x１＋x２)２＝x２１＋x２２＋２x１x２＝ ４,(x１－x２)２＝x２１＋x２２－２x１x２＝８ 代入有S四边形ADBE＝ １ ２ ８ 􀅰 ９＋３２ 􀅰４＋４ ２ １６( ) ＝４ ２． 所以四边形ADBE 的面积为３或４ ２． 答案:(１)见详解;(２)３或４ ２ １５．解:(１)当l与x 轴垂直时,l的方程为x＝２,可得 M 的坐标为(２,２)或(２,－２)． 所以直线BM 的方程为y＝１２x＋１ 或y＝－１２x－１． (２)当l与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所 以∠ABM＝∠ABN． 当l与x 轴不垂直时,设l的方程为y＝k(x－２)(k≠ ０),M(x１,y１),N(x２,y２),则x１＞０,x２＞０． 由 y＝k(x－２), y２＝２x{ 得ky ２－２y－４k＝０,可知y１＋y２＝ ２ k ,y１y２＝－４． 直线BM,BN 的斜率之和为kBM ＋kBN ＝ y１ x１＋２ ＋ y２ x２＋２ ＝ x２y１＋x１y２＋２(y１＋y２) (x１＋２)(x２＋２) ． ① 将x１＝ y１ k＋２ ,x２＝ y２ k＋２ 及y１＋y２,y１y２ 的表达式 代入①式分子,可得 x２y１＋x１y２＋２(y１＋y２)＝ ２y１y２＋４k(y１＋y２) k ＝ －８＋８ k ＝０． 所以kBM＋kBN＝０,可知BM,BN 的倾斜角互补,所 以∠ABM＝∠ABN． 综上,∠ABM＝∠ABN． １６．解:(１)设A(x１,y１),B(x２,y２),则x１≠x２,y１＝ x２１ ４ , y２＝ x２２ ４ ,x１＋x２＝４, 于是直线AB 的斜率k＝y１ －y２ x１－x２ ＝ x１＋x２ ４ ＝１． (２)由y＝x ２ ４ ,得y′＝x２ , 设 M (x３,y３),由 题 设 知 x３ ２ ＝１ ,解 得 x３＝２,于 是M(２,１)． 设直线AB 的方程为y＝x＋m,故线段AB 的中点为 N(２,２－m),|MN|＝|m＋１|． 将y＝x＋m 代入y＝x ２ ４ 得x２－４x－４m＝０． 当Δ＝１６(m＋１)＞０, 即m＞－１时,x１．２＝２±２ m＋１． 从而|AB|＝ ２|x１－x２|＝