专题六 不等式-【创新教程】2017-2021五年高考文科数学真题分类汇编

因为d－a 在c 方 向 上 的 投 影 为z＝ (d－a)􀅰c |c| ＝ ２x＋y－２ ５ ,故２x＋y－ ５z＝２, 故 x２ ＋y２ ＋z２ ＝ (２x)２ ４ ＋ y２ １ ＋ (－ ５z)２ ５ ≥ (２x＋y－ ５z)２ ４＋１＋５ ＝ ２ ５ , 当 且 仅 当 ２x ４＝ y １＝ － ５z ５ ２x＋y－ ５z＝２ { 即 x＝２５ y＝１５ z＝－ ５５ ì î í ï ï ï ï ï ï 时 取 等 号, 故填２ ５． ５．５　由a⊥b,可得a􀅰b＝１×(m＋１)＋(－１)×(２m－ ４)＝０,解得m＝５． ６．１６　 １３ ２　 本题考查平面向量数量积的计算,考查平面 向量数量积的定义与坐标运算,∵AD → ＝λBC →,∴AD ∥BC,∴∠BAD＝１８０°－∠B＝１２０°, AB →􀅰AD → ＝λBC →􀅰AB → ＝λ|BC → |􀅰|AB → |cos１２０°＝λ× ６×３× －１２( )＝－９λ＝－ ３ ２ ,解得λ＝１６ ,以点B 为 坐标原点,BC所在直线为x 轴如图所示的平面直角 坐标系xBy, 则D ５ ２ ,３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷,令 M(x,０),则N(x＋１,０)(其中０≤ x≤５), DM → ＝ x－５２ ,－３ ３２ æ è ç ö ø ÷,DN → ＝ x－３２ ,－３ ３２ æ è ç ö ø ÷, DM →􀅰DN → ＝ x－５２( ) x－ ３ ２( ) ＋ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝x２－４x ＋２１２＝ (x－２)２＋１３２ , 所以,当x＝２时,DM →􀅰DN → 取得最小值１３ ２． 方法总结　已知a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),利用向量 的坐标求向量的夹角的解决方法是利用公式cos‹a, b›＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ ． ７．２８２９　 不妨设e１＝(１,０),e２＝(x,y),则x２＋y２＝１,所 以a＝(x＋１,y),b＝(x＋３,y)． 由|２e１－e２|≤ ２,得(x－２)２＋y２≤２,与x２＋y２＝１ 联立解得３ ４≤x≤１． cos２θ＝ a 􀅰b |a||b|( ) ２ ＝ (x＋１)(x＋３)＋y２ (x＋１)２＋y２ (x＋３)２＋y２[ ] ２ ＝ ４ (x＋１)２ (x＋１)(３x＋５) ＝４ (x＋１) ３x＋５ ＝４ １ ３－ ２ ３(３x＋５)[ ],所 以 当x＝ ３ ４ 时, cos２θ的最小值为２８２９． 专题六　不等式 考点一　不等式的性质、一元二次不等式 　与基本不等式 １．C　由题意可知 A 的最小值为３,B的等号成立条件 不成立,D无最小值． ２．ABD　对于 A选项, a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ ＝ １ ２⇒a ２＋b２≥ １ ２ ,正确; 对于B选项,由a＋b＝１且a＞０,b＞０可得,a－b＝２a －１＞－１,因此２a－b＞１２ ,正确; 对于C选项,a＋b＝１≥２ ab⇒ab≤１４⇒log２ab≤log２ １ ３ ＝－２,错误; 对于 D 选 项,a＋b２ ≤ a＋b ２ ＝ １ ２ ⇒ a＋ b≤ ２,正确． 名师指导　选择题也可以考虑直接赋值,关键是要看 出由a＞b＞０,且a＋b＝１可以得出a＞b＞０,然后取 符合要求的值,可以取a＝３４ ,b＝１４ ,比较log３４＋ lg２ １ ４ 及－２,log２ ３ ２ ,则易得答案为B． ３C　因为ab≠０,所以a≠０且b≠０,设f(x)＝(x－a) (x－b)(x－２a－b),则f(x)的零点为x１＝a,x２＝b, x３＝２a＋b 当a＞０时,则x２＜x３,x１＞０,要使f(x)≥０,必有２a ＋b＝a,且b＜０, 即b＝－a,且b＜０,所以b＜０; 当a＜０时,则x２＞x３,x１＜０,要使f(x)≥０,必有b＜０． 综上一定有b＜０． ４．４　本题考查应用基本不等式求最值,“１”的合理变换 是解题的关键,∵a＞０,b＞０,∴a＋b＞０,ab＝１,∴１２a ＋１２b＋ ８ a＋b＝ ab ２a＋ ab ２b＋ ８ a＋b＝ a＋b ２ ＋ ８ a＋b≥２ a＋b ２ × ８ a＋b＝４ ,当且仅当a＋b＝４时取等号,结合 ab＝１,解得a＝２－ ３,b＝２＋ ３,或a＝２＋ ３,b＝２－ ３时,等号成立． ５．４５　４＝ (５x２＋y２)􀅰４y２≤ (５x２＋y２)＋４y２ ２[ ] ２ ＝２５４ (x２＋y２)２,故x２＋y２≥４５ ,当且仅当５x２＋y２＝４y２ ＝２,即x２＝３１０ ,y２＝１２ 时取(x２＋y２)min＝ ４ ５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋