【导学案】2.2 基本不等式（第1课时 基本不等式）-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

第1课时 基本不等式 学习目标 教材考点 学习目标 核心素养 基本不等式 理解基本不等式的内容及导出过程 逻辑推理 利用基本不等式求最值 能够运用基本不等式求函数或代数式的最值 数学运算 知识梳理 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 名师导学 知识点1 基本不等式内容辨析 【例】下列结论正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，x－无最大值 【解析】　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0<x≤2的范围内单调递增，有最大值2－＝. 【答案】　B 反思感悟　 应用基本不等式时的三个关注点 变式训练 (多选)下列条件中，能使＋≥2成立的是(　　) A．ab＞0 B．ab＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0 解析：选ACD.当，均为正数时，＋≥2，故只须a，b同号即可，所以ACD均可以．故选ACD. 知识点2 利用基本不等式求最值 【例】(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)当x>1时，求2x＋的最小值； (4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解　(1)∵x>0，∴>0,4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)∵x<0，∴－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8. (3)2x＋＝2＋2， ∵x>1，∴x－1>0， ∴2x＋≥2×2＋2＝10， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号． (4)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36. 反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 变式训练 1.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案　B 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25， 因此当且仅当x＝y＝4时， (1＋x)·(1＋y)取最大值25. 2．函数y＝3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：选D.y＝3(x2＋1)＋－3≥ 2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D. 3．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________． 解析：x＋y＝(x＋y)· ＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16. 即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16. 答案：16 当堂测评 1．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B. C. D. 解析：选D.a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D. 3．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 答案　C 解析　A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C. 4.当x＞0时，若2x＋(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 解析：因为a＞0，且2x＋≥2＝2， 当且仅当2x＝， 即x＝时，2x＋取得最小值， 所以＝3， 解得a＝18. 答案：18 5．已知x>－1，则的最小值为________． 答案　16 解析　＝ ＝ ＝(x＋1)＋＋10， ∵x>－1，∴x＋