第2章 4.1 函数的奇偶性-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数奇偶性的定义．(重点) 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点) 3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点) 1.借助奇偶性的特征的学习，培养直观想象素养． 2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养． 1．奇(偶)函数的定义 奇偶性 奇函数 偶函数 前提 设函数f的定义域是A，如果对任意的x∈A时，有－x∈A 条件 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 图象特征 关于坐标原点对称．反之亦然 关于y轴对称．反之亦然 思考：奇(偶)函数的定义域具有什么特征？它是函数具有奇偶性什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． (2)如果奇函数y＝f＝0.在原点有定义，则f 1．设f等于(　　)＝2x2－x，则f是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f A．－3　　　B．－1　　　C．1　　　D．3 A　[∵f＝2x2－x， 是奇函数，当x≤0时，f ∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.] 2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　) A　　　　B　　　C　　　　D B　[D不是函数；A，C不关于原点对称．] 3．已知一个奇函数的定义域为，则a＋b等于________． －1　[根据奇函数的定义域关于原点对称，知a与b有一个等于1，一个等于－2， 所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.] 4．已知函数f，且f(1)＝3.＝x＋ (1)求m的值； (2)判断函数f的奇偶性． [解]　(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2. (2)由(1)知，f，x≠0， ＝x＋ ∵f， ＝－f＝－＝(－x)＋ ∴函数f为奇函数． 判断函数的奇偶性 【例1】　判断并证明下列函数的奇偶性： (1)f；＝ (2)f＝(x＋1)(x－1)； (3)f；＋＝ (4)f.＝ [思路点拨]　应先看函数定义域是否关于原点对称，再判断f的关系．与f [解]　(1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f既非奇函数又非偶函数．＝ (2)函数的定义域为R，因为函数f，所以函数为偶函数．＝(－x)2－1＝x2－1＝f＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又f (3)函数的定义域为{－1，1}，因为对定义域内的每一个x，都有f为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．＋＝，故函数f＝－f为偶函数．又f＋＝，故函数f＝f＝0，所以f (4)解不等式组 ，得－2≤x<0，或0<x≤2， 因此函数f的定义域是[－2，0)∪(0，2]， 则f.＝ ∴f， ＝－f＝－＝ 所以f是奇函数． 1. 在本题(4)中，在定义域内化简函数，是正确求解的关键． 2．利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域． 3．在判断f.＝±1＝0⇔±f⇔f＝±f的关系时，有时应用定义的变通形式较方便，常见的变通形式：f与f 1．已知f的奇偶性．，y＝fg，y＝f＋g是定义在R上的奇函数，试判断y＝f，g [解]　∵f是定义在R上的奇函数， ，g ∴f是奇函数．＋g]，y＝f＋g＝－[f－g＝－f＋g f是偶函数．g，y＝fg]＝f][－g＝[－fg f[g是奇函数．]，y＝f]＝－f[g]＝f[－g 奇偶性的应用 角度一　奇(偶)函数图象的对称性的应用 【例2】　定义在R上的奇函数f在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)画出f的图象； (2)解不等式xf>0. [解]　(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f的图象如图． (2)xf>0的解集是(－2，0)∪(0，2).>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf 把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题． [解]　(1)f的图象如图所示： (2)xf>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). 函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称． 角度二　应用函数奇偶性求解析式 【例3】　函数f的解析式．＝－x＋1，求当x<0时，f是定义域为R的奇函数，当x>0时，f [解]　设x<0，则－x>0，∴f＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f是定义域为R的奇函数， ∴f＝x＋1， ＝－f ∴当x<0时，f＝－x－1. 已知函数f上的解析式的方法：在区间上的解析式，求函数f在区间 (1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b. (2