1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单选题 1．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ） A． B． C．平面 D．平面 2．在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论中可能不成立的是（ ） A． B． C． D． 3．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为 4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A． B． C． D．与斜交 5．、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（ ） A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 7．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A､C均有可能 8．已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ） A． B． C． D． 9．在正方体中，若为的中点，则直线垂直于 A． B． C． D． 二、多选题 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 三、填空题 11．已知平面和平面的法向量分别为，，且，则___________． 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面. 13．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1. (2)BC1∥平面CA1D． 14．如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角的大小为45°，底面为直角梯形，．问： （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（， 则，， 因为，所以不可能平行，即不可能平行， 又，，因此可以垂直，即与可能垂直． ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 与不可能平行，因此与平面不可能垂直， ，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行， 故选：B． 2．B 【分析】 利用法向量的概念得平面，利用线面垂直的性质定理证得A,D正确；利用四边形为菱形结合线面垂直的判定定理证得平面，从而证得选项C，即可得出结论. 【详解】 ∵是平面的法向量，∴平面，平面，平面，,, A和D显然成立， 同理， 又∵四边形为菱形，，∴平面，∴，故选项C成立，不正确的只有选项B. 故选：B. 3．B 【分析】 在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】 在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 线段的最大值为，故B正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：B 4．B 【分析】 判断与的位置关系，进而可得出结论. 【详解】 由已知可得，则，因此，. 故选：B. 5．D 【分析】 根据选项直接判断直线、的位置关系，可判断A选项的正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断BC选项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，若，，，则与平行或异面，A选项错误； 对于B选项，若，，则或，B选项错误； 对于C选项，若，，则、、或与斜交，C选项错误； 对于D选项，设直线、的方向向量分别为、， 由于，则平面的一个法向量为，，则平面的一个法向量为， 因为，则，因此，，D选项正确. 故选：D. 6．B 【分析】 由已知可得，，从而可