【导学案】2.1 等式性质与不等式性质-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 学习目标 教材考点 学习目标 核心素养 不等关系的表示 会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 数学建模 数(式)大小比较 会运用作差法比较两个数或式的大小 逻辑推理 不等式的性质 掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题 逻辑推理 知识梳理 1．比较实数a，b大小的依据 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对． (2)符号表示 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．常用的不等式的基本性质 性质1　a>b⇔b<a； 性质2　a>b，b>c⇒a>c； 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c； 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc； 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d； 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； 性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 名师导学 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 【例】(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 【解】　(1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 故填72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝(m)． 因此菜园面积S＝x， 依题意有S≥110，即x≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 反思感悟　 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 变式训练 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解　提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(2.5≤x<6.5)． 知识点2 比较大小 【例】(1)比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小． 【解】　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1. 当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0， 所以3x3>3x2－x＋1. (2)因为a≥1， 所以M＝－>0，N＝－>0. 所以＝＝. 因为＋>＋>0， 所以<1，所以M<N. 反思感悟　 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 变式训练 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 知识点3 不等式的基本性质 【例】(1)对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若c>a>b>0，求证：>. 【解】　(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．