第一章 导数及其应用 章末复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识系统整合 规律方法收藏 1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0. 2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键. 3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高. 4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点. (3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件. 5.利用导数研究函数的极值应注意的几点 (1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件. (2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导. (3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然. 6.极值与最值的区别 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值. 7.导数的实际应用 利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较. 8.求定积分 求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证. 9.定积分的应用中的两个主要问题 一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 一、导数几何意义的应用 例1　设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a,0)，求a的值. 二、求函数的单调区间 例2　设a∈R，讨论定义在(－∞，0)的函数f(x)＝ax3＋x2＋(a＋1)x的单调性. 三、求函数的极值与最值 例3　设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点. 四、恒成立问题 例4　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1，2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围. 五、利用导数证明不等式 例5　已知a，b为实数，且b>a>e，求证：ab>ba. 六、利用导数解决实际问题 例6　烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A，B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k)．若C是AB连线上的点，设AC＝x km，C点的烟尘浓度记为y. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由. 七、定积分的应用 例7　已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切于A点，直线l2：x＝a(a≠－1)交