第一章 生活中优化问题举例-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：生活中的优化问题 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数，可以解决一些生活中的优化问题． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域在开区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值． 3．解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 4.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值． (3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间． 题型一：面积、容积的最值问题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．(　　) (2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．(　　) 2．做一做 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________． (2)某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 3.用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 4.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积． 题型二：费用(用材最省问题) 5.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元(a≠0)，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 6.要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？ 题型三：利润最大(成本最低)问题 7.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和． (1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？ (2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 8.某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p＝24200－x2，且生产x t产品的成本为R＝50000＋200x.问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本) 综合小测试 1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B． C．－1 D．－8 2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为(　　) A． cm B．100 cm C．20 cm D． cm 3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　) A．30 B．40 C．50 D．其他 4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，