1.2空间向量基本定理（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1. 2 空间向量基本定理

（基础知识+基本题型）

知识点一  空间向量基本定理

1．定理

如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得

2．基底与基向量

如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．

对基底的正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．

提示

(1)空间向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一地线性表示，为空间向量的坐标表示了奠定的基础．

(2)判断三个向量能否做为空间的一个基底，关键是利用共面向量定理判断三个向量是否共面，只有不共面的三个向量才能构成空间的一个基底．

知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示

1．单位正交基底

有公共起点的三个两两垂直的单位向量称为单位正交基底，用表示

2．空间直角坐标系

以的公共起叫做原点分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，其中点叫做原点，轴、轴、轴都叫坐标轴． 向量都叫做坐标向量，经过任何两个坐

标轴的平面叫做坐标平面，他们分别是平面、平面、平面．

3．空间向量的坐标表示

对于空间的任意一个向量,一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量由空间向量基本定理可知，存在有序实数组我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标．

对于空间向量坐标的表示，要注意以下两点：

(1)  空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为则

(2)  向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响．

拓展

 特殊向量的坐标表示

（1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即

（2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即

（3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即

（4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即

（5）当向量平行于平面时，横坐标为，即

（6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即

应用点一 与基底相关的问题

例1 如图，在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是边OA的中点，点G为的重心，用基向量表示向量．

解：如图，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC的中点．所以．

因为点G为的重心，所以．

又因为，所以．

因为M是边OA的中点，所以．

所以．

例2 如图，在平行六面体中，设，M，N，P分别是的中点，试用表示以下各向量：

（1）；

（2）；

（3）．

解：（1）因为P是的中点

所以．

（2）因为N是BC的中点，所以 ．

（3）因为M是的中点，所以 ．

又因为，

所以．

应用点二 空间向量基本定理的应用