专题1.14 二次函数的图象与系数之间的关系（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题1.14 二次函数的图象与系数之间的关系（拓展提高） 一、单选题 1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-kx+1经过的象限，对比后即可得出结论． 【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意； ∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解； ②根据抛物线与x轴有两个交点，由判别式即可得解； ③当x=3时，y＜0，即可求解； ④函数的对称轴为：x=1，故b=-2a， 结合③的结论，代入9a+3b+c＜0，即可得解； 【详解】解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意； ②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意； ③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意； ④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，∴ ,由③知9a+3b+c＜0，代入得 ，故2c＜3b正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等． 3．已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法：①该二次函数的图像一定过定点（－1，－5）；②若该函数图像开口向下，则m的取值范围为： ；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5；正确的有（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①y=（m-2）x2+2mx+m-3=m（x+1）2-2x2-3， 当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①正确； ②若该函数图象开口向下，则m-2＜0，且Δ＞0， △=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞ ，且m＜2， 故m的取值范围为： ＜m＜2，故②正确； ③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧， 当1≤x≤2时，y的最大值在x=2处取得， 故y的最大为：（m-2）×4+2m×2+m-3=9m-11，故③错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 4．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（　　） A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m，n，p，q的大小关系． 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2， ∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2， ∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根， ∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0， ∴p，q一定处在m，n中间 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与一元二次方程解的意义是解题关键． 5．在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与 关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于x轴对称，函数值y互为相反数，将抛物线 化成关于x轴对称的抛物线的解析式为 ，列出方程组，求解即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线 与 关于x轴对称， ∴ ， ∴ 与 相同， ∴ ， 解得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线 化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键． 6．在正方形 中，点 为 边上的一点， ，连接 ，作 于点 ，令 关于 的函数关系图象大致是（ ） A． B． C．