专题八 已知球心或球半径模型-2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

专题八　已知球心或球半径模型 【例题选讲】 [例]　(1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 答案　36π　解析　如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R．∴VS­ABC＝VA­SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π． (2)已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90˚，则球O的体积为________． 答案　　解析　设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90˚，∴××3××h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1．设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为． (3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　A　解析　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝×AB2＝，高OD＝＝，∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝．故选A． (4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 答案　　解析　如图，设B1C1的中点为E， 球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝＝＝．又由题意可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ．又D1P＝，∴B1P＝＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝，知的长为×＝，即交线长为． (5)三棱锥S－ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S－ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为(　　) A．2＋　　　　　　B．2－　　　　　　C．3　　　　　　D．2 答案　C　解析　如图，设三棱锥S－ABC底面三角形ABC的外心为G，三棱锥外接球的球心为O，要使三棱锥S－ABC的体积最大，则O在SG上，由底面三角形的边长为3，可得AG＝＝．连接OA，在Rt△OGA中，由勾股定理求得OG＝＝ ＝1．∴点S到平面ABC的距离为OS＋OG＝2＋1＝3．故选C． 【对点训练】 1．已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O 的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为(　　) A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2 2．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱锥O－ABCD 的体积为8，则R等于(　　) A．4　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 3．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形， 三棱锥P－ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 4．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，，则这 个球的表面积为_____________． 5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为________． 6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π， AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π　　　　　　　　B．48π