2021年全国高考数学真题演练(2)---三角函数

2021年全国高考数学真题演练-----三角函数（解析版） 1.（全国甲卷理科16） 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即； 所以. 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解. 2.（全国甲卷文科15）已知函数的部分图像如图所示，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 3[2020年全国Ⅰ卷(文)T7]设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得： 又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得： 4[2020年全国Ⅱ卷(理)T2]若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 所以函数最小正周期为 故选：C 5[2020年全国Ⅲ卷(文)T12]已知函数f(x)=sinx+，则（ ） A. f(x)的最小值为2 B. f(x)的图像关于y轴对称 C. f(x)的图像关于直线对称 D. f(x)的图像关于直线对称 【答案】D 【详解】可以为负，所以A错； 关于原点对称； 故B错； 关于直线对称，故C错，D对 故选：D 6（全国乙卷理科7）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 7（全国乙卷文科4） 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 8(全国新高考下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 9(浙江卷18) 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析