1.1.1空间向量及其线性运算（同步课件）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019 选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决．在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系．一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题．在本章，我们就来研究这些问题． 在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用． 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景．可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始． 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)． A B A B C O 图1.1-1 图1.1-2 空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致． 方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equal vec­tors)．因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． O B A 图1.1-3 O A B C O A P Q M N 图1.1-5 图1.1-4 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算． 由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5)： O A B C O A P Q M N 想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？ 你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？ A B C D 图1.1-6 O P 图1.1-7 l O A l 图1.1-8 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的．那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ O A C B O A B C D E F G H 图1.1-9 O A B C D E F G H 图1.1-9 $