2.2.4 点到直线的距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步课件PPT(人教B版)

第二章 平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.4　点到直线的距离 * * * 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点) 2．会求两条平行直线之间的距离．(重点) 3．点到直线的距离公式的推导．(难点) 1．通过点到直线的距离公式的推导，培养逻辑推理的数学核心素养． 2．借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养． * 情 景 导 学 探 新 知 * * * 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ * 垂线 垂线段 * 1．点到直线的距离 (1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的 所得 的长度． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ． eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) * * 思考：点P(x0，y0)到直线l1：x＝x1的距离是多少？点P(x0，y0)到直线l2：y＝y1的距离为多少？ [提示]　|x0－x1|；|y0－y1|． * 距离 任意一点 * (1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的 ． (2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． (3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ ． eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) * * 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用． (　　) (2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b． (　　) (3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为eq \f(|m－2n|,\r(2))． (　　) * * (4)两直线x＋2y＝m与2x＋4y＝3n的距离为eq \f(|m－3n|,\r(5))． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× * * [提示]　(1)正确． (2)应是d＝|y0－b|． (3)正确． (4)错误．将2x＋4y＝3n化为x＋2y＝eq \f(3,2)n，因此距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,2)n)),\r(5))． * * 2．(教材P95练习A①改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．eq \r(2)　　　B．eq \r(3)　　　　C．2　　　　D．eq \r(5) D　[由点到直线的距离公式得：d＝eq \f(|0＋0－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5)．] * * 3．分别过点M(－1,5)，N(2,3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是 ． 3　[d＝|2－(－1)|＝3．] * * 4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－2＝0间的距离为 ． 1　[d＝eq \f(|－7－－2|,\r(32＋42))＝1．] * * 5．求与直线l：3x－4y－11＝0平行且与直线l距离为2的直线方程． [解]　∵与l平行的直线方程为3x－4y＋c＝0． 根据两平行直线间的距离公式得eq \f(|c－－11|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝－1或c＝－21． ∴所求方程为：3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0． * 合 作 探 究 释 疑 难 * * 点到直线的距离 * 【例1】　求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程． * * [解]　当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B的距离不相等，故可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0． 由eq \f(|－k－2＋2k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|3k＋2k＋1|,\r(k2＋1))， 解得k＝0或k＝－eq \f(1,2)． 所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0． * * 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方 程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|． * * (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． * * eq \o([跟进训练]) 1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为eq \r(2)的直