3.3.1 抛物线及其标准方程-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】

3.3.1 抛物线及其标准方程 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知 是抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线 上一点，以 为圆心的圆 与准线 相切，且过点 ，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 或 3．双曲线 ： 和抛物线 ： 相交于点 ， ，若 的外接圆经过点 ，则抛物线 的方程为（ ）． A． B． C． D． 4．已知抛物线 、 的焦点都为 ， 的准线方程为 ， 的准线方程为 ， 与 相交于M、N两点，则直线MN的方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知F为抛物线 的焦点，P，Q为抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作y轴的垂线，垂足为H．若 ，则 的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 二、多项选择题（共2小题，每小题5分，共10分） 6．已知抛物线 的焦点为F(4，0)，直线 经过点F交C于A，B两点，交y轴于点P，若 ，则（ ） A． B．点B的坐标为 C． D．弦AB的中点到 轴的距离为 7．已知斜率为 的直线 过抛物线 ： ( )的焦点，且与抛物线 交于 ， 两点，抛物线 的准线上一点 ，满足 ，则（ ） A． B． C． D． 的面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 8．已知 为抛物线 的焦点， ，点 在抛物线上且满足 .若这样的点 有且只有一个，则实数 的值为___________. 9．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，抛物线上一点 ， 与准线 垂直且交于点 ，以 为直径的圆被 截得的弦长为 ，则 的长度为__________. 10．已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______. 四、解答题（共2小题，每小题15分，共30分） 11．已知抛物线 ，其焦点为F，抛物线上有相异两点 ， ． （1）若 轴，且经过点A的抛物线的切线经过点 ，求抛物线方程； （2）若 ，且 ，线段AB的中垂线交x轴于点C，求 面积的最大值． 12．已知直线 与抛物线 相交于A，B两点，当 时，在C上有且只有三个点到 的距离为 ． （1）求C的方程： （2）若点P在直线y=-2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知 是抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出 ，根据抛物线的定义可知 ，结合已知条件 ，即可得出正确选项. 【详解】 设 ， ， 联立直线 与抛物线 的方程， 得 ，则 ， 又因为 ， 根据抛物线的定义可得 ， 即 . 故选A. 2．设抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线 上一点，以 为圆心的圆 与准线 相切，且过点 ，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】 首先根据抛物线的定义得到圆 经过焦点 ，又 也在圆上，接着分类讨论当 ， 不重合时，根据垂径定理求得 ；当 ， 重合时， ，最后写出抛物线的方程. 【详解】 由抛物线的定义知，圆 经过焦点 ，点 的横坐标为5， 由题意，当 ， 不重合时， 是线段 垂直平分线上的点， ∴ ， ∴ ， 所以抛物线的方程为 ； 当 ， 重合时， ∴ ， ∴ ， 所以抛物线的方程为 ． 故选D． 【点睛】 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 3．双曲线 ： 和抛物线 ： 相交于点 ， ，若 的外接圆经过点 ，则抛物线 的方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求得 的外接圆方程，由此求得 的坐标，将 坐标代入抛物线方程求得 ，由此求得抛物线的方程. 【详解】 根据双曲线和抛物线的对称性可知， 是 的外接圆的直径，所以圆的圆心为 ，半径为 ，所以圆的方程为 ， 即 . 由 解得 或 .