3.2.2 双曲线的简单几何性质-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】

3.2.2双曲线的简单几何性质 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知双曲线 的离心率为 ，则点 到双曲线C的渐近线的距离为（ ） A．2 B． C． D． 2．已知双曲线 (a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．若双曲线 上存在四个点A，B，C，D满足四边形 是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，则该双曲线实轴长为（ ） A．2 B．1 C． D． 5．已知双曲线C： 的右顶点为A，右焦点为F，O是坐标系原点，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，若四边形OMFN是菱形，则C的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 二、多项选择题（共2小题，每小题5分，共10分） 6．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，圆 ，P是双曲线C与圆O的一个交点，且 ，则下列结论中正确的有（ ） A．双曲线C的离心率为 B．点 到一条渐近线的距离为 C． 的面积为 D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2 7．已知双曲线 的左､右焦点分别是 ， ，直线l过 交C的右支于A，B两点，A在第一象限，若 .且 ， ， 成等差数列，则以下正确的是（ ） A． B．l的斜率为3 C．C的离心率为 D．C的两条渐近线互相垂直 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 8．已知 分别是双曲线 上的三点，且满足 ，若直线 的斜率分别为 ， 成立，其中 ，则 渐近线方程为___________. 9．已知双曲线 ： ( ， )的左､右焦点分别为 ， ，过 的直线 交 的右支于 ， 两点，且 ， 的周长等于焦距的3倍，若 ，则 的离心率的取值范围是___________. 10．从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，如图．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质，已知某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，其中 ， 分别为该双曲线的左、右焦点，从 发出的两条光线（共线反向）分别经过双曲线右支上的点 和点 ，且经过点 的光线反射后经过点 ， ，若点 在以点 为圆心、 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______． 四、解答题（共2小题，每小题15分，共30分） 11．已知双曲线 的离心率为2， 为双曲线 的右焦点， 为双曲线 上的任一点，且点 到双曲线 的两条渐近线距离的乘积为 . （1）求双曲线 的方程； （2）设过点 且与坐标轴不垂直的直线 与双曲线 相交于点 ， ，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的值. 12．已知椭圆 ，其短轴长为 ，离心率为 ，双曲线 的渐近线为 ，离心率为 ，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的右焦点为 ，动直线 （ 不垂直于坐标轴）交椭圆 于 、 不同两点，设直线 和 的斜率为 、 ，若 ，试判断该动直线 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知双曲线 的离心率为 ，则点 到双曲线C的渐近线的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据离心率结合 得出 关系，求得渐近线方程，利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】 由题离心率 ，即 ， 又 ，则 ，即 ， 则渐近线方程为 ， 则点 到双曲线C的渐近线的距离为 . 故选：C. 2．已知双曲线 (a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】 根据题意可得 ，计算即可得解. 【详解】 由双曲线 (a>4)的实轴长是虚轴长的3倍， 可得 可得 ， 解得 . 故选：A. 3．若双曲线 上存在四个点A，B，C，D满足四边形 是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先设 ，代入双曲线方程得到 ，根据四边形 是正方形，得到 ，从而得到 ，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可. 【详解】 设 ，由题知： ，解得： ， 因为四边形 是正方形，所以 ，解得 . 又因为 ，所以 ，解得 ， 所以 . 故选：D 4．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，则该双曲线实轴长为（ ） A．2