专题1.16 一元二次函数与一元二次不等式-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.16 一元二次函数与一元二次不等式-重难点题型精讲 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型1 一元二次不等式的解法】 【方法点拨】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【例1】（2020秋•潜山市校级期中）解下列不等式 （1）﹣5x2+3x+14≤0； （2）（5﹣2x）（x+3）＞9． 【解题思路】（1）求出方程﹣5x2+3x+14＝0的解，根据不等式与二次函数的关系写出不等式的解集； （2）不等式可化为2x2+x﹣6＜0，求出2x2+x﹣6＝0的解，根据不等式与二次函数的关系求出不等式的解． 【解答过程】解：（1）令﹣5x2+3x+14＝0，解得x或x＝2， 所以不等式﹣5x2+3x+14≤0的解集为（﹣∞，]∪[2，+∞）； （2）由题意，不等式（5﹣2x）（x+3）＞9，可化为2x2+x﹣6＜0， 令2x2+x﹣6＝0，解得x或x＝﹣2，所以2x2+x﹣6＜0的解集为（﹣2，）， 即（5﹣2x）（x+3）＞9的解集为（﹣2，）． 【变式1-1】（2020秋•南京期中）解下列不等式： （1）2x2﹣5x+3＜0； （2）﹣3x2+x+4≤0． 【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（2x﹣3）＜0，求出解集即可； （2）不等式化为3x2﹣x﹣4≥0，再求不等式的解集． 【解答过程】解：（1）不等式2x2﹣5x+3＜0可化为（x﹣1）（2x﹣3）＜0， 解得1＜x， 所以不等式的解集为（1，）； （2）不等式﹣3x2+x+4≤0可化为3x2﹣x﹣4≥0， 即（x+1）（3x﹣4）≥0， 解得x≤﹣1或x， 所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）． 【变式1-2】（2020秋•建瓯市校级月考）解下列不等式： （1）﹣x2+2x＜﹣3； （2）x2﹣2x+1≤0． 【解题思路】对不等式左边进行因式分解，得到一元一次不等式组即可求解． 【解答过程】解：（1）﹣x2+2x＜﹣3⇒x2﹣2x﹣3＞0⇒（x+1）（x﹣3）＞0， 由“两实数相乘，同号得正，异号得负”可得①，或②， 解①得x＞3，解②得x＜﹣1， 故﹣x2+2x＜﹣3的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）； （2）x2﹣2x+1≤0⇒（x﹣1）2≤0，解得x＝1， 故x2﹣2x+1≤0的解集是{1}． 【变式1-3】（2021秋•巴宜区校级期中）解下列不等式． （1）2x2+7x+3＞0； （2）﹣x2+4x﹣5≥0． 【解题思路】解不等式，首先化最高次前系数为正，通过△判断有没有解，有解再通过十字相乘法求解． 【解答过程】解：（1）方程2x2+7x+3＝0中△＝25＞0， ， ∴原不等式的解集为． （2）原不等式可化为x2﹣4x+5≤＝0，方程x2﹣4x+5＝0中△＝﹣4＜0， ∴原不等式的解集为∅． 【题型2 含参数的一元二次不等式的解法】 【方法点拨】 解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例2】（2021春•内江期末）解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0． 【解题思路】△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，讨论f（x）＝0的解，结合函数图象得出不等式的解集． 【解答过程】解：△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，方程f（x）＝0的解为﹣m，﹣1， ①当m＝1时，x≠﹣1， ②当m＜1时，x＞﹣m或x＜﹣1， ③当m＞1时，x＞﹣1或x＜﹣m． 综上，当m＝1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}， 当m＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣m或x＜﹣1}， 当m＞