1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 知识点　 　矩形的性质与判定的综合应用 1.为了解居民的日常生活所需,某社区成立了服务站,如图是该社区辖区内的A,B,C三个小区位置示意图,其中AB＝1 000 m,BC＝600 m,AC＝800 m.如果要求服务站到三个小区的距离相等,那么服务站设立的位置应在( A ) A.AB的中点处 B.BC的中点处 C.AC的中点处 D.∠C的平分线与AB的交点处 2.如图,在△ABC中,AC的中垂线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E.若∠A＝30°,BC＝2,AF＝BF,则四边形BCDE的面积是( A ) A.2 B.2 C.3 D.3 3.如图,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE＝3,PF＝9,则图中阴影部分的面积为( C ) A.12 B.24 C.27 D.54 4.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上.若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2,则S1,S2的大小关系是( B ) A.S1>S2 B.S1＝S2 C.S1<S2 D.3S1＝2S2 5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B(3,5).若锁定OA,向左推动矩形OABC,使点B落在y轴上点B'的位置,则点C的对应点C'的坐标为　(－3,4)　.  6.[教材P19习题第5题改编]如图,P是矩形ABCD边上的一个动点,已知AB＝15,BC＝20,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　12　.  7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若OA＝OB＝OC＝OD,AB＝1,∠ABD＝60°,求AD的长. 解:∵OA＝OC,OB＝OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵OA＝OB＝OC＝OD,即AC＝BD, ∴平行四边形ABCD是矩形,∴∠BAD＝90°. ∵∠ABD＝60°,∴∠ADB＝30°. ∵AB＝1,∴BD＝2AB＝2, ∴在Rt△ABD中,AD＝. 8.如图,在四边形ABCD中,∠A＝∠BCD＝90°,BC＝CD,CE⊥AD,垂足为E.求证:AE＝CE. 证明:过点B作BF⊥CE于点F. ∵CE⊥AD,∴∠D＋∠DCE＝90°. ∵∠BCD＝90°,∴∠BCF＋∠DCE＝90°, ∴∠BCF＝∠D. 又∵∠CED＝∠BFC＝90°,BC＝CD, ∴△BCF≌△CDE(AAS),∴BF＝CE. ∵∠A＝90°,CE⊥AD,BF⊥CE, ∴四边形AEFB是矩形,∴AE＝BF,∴AE＝CE. 9.如图,P是矩形ABCD内一点(不含边界),若S△PAB＝S△PBC,则点P一定在( A ) A.对角线BD上 B.对角线AC上 C.∠ABC的平分线上 D.对角线AC和BD的交点处 10.[改编]如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC＝3,P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为　2.4　.  11.[菏泽中考]如图,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,点P在对角线BD上,且BP＝BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为　3　.  12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO＝CO,BO＝DO,且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少? 解:(1)∵AO＝CO,BO＝DO, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC＝∠ADC. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°, ∴∠ABC＝∠ADC＝90°, ∴四边形ABCD是矩形. (2)∵∠ADC＝90°,∠ADF∶∠FDC＝3∶2, ∴∠FDC＝36°. ∵DF⊥AC,∴∠DCO＝90°－36°＝54°. ∵四边形ABCD是矩形, ∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠DCO＝54°, ∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°. 13.在四边形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,BC＝2AD,F是BC的中点. (1)如图1,求证:四边形AFCD是矩形; (2)如图2,过点C作CE⊥AB于点E,连接DE,EF.求证:DE＝DC. 证明:(1)∵BC＝2AD,F是BC的中点, ∴AD＝CF. ∵AD∥BC,∴四边形AFCD是平行四边形. ∵CD⊥BC,∴∠DCF＝90°, ∴平行四边形AFCD是矩形. (2)连接DF交CE于点G. ∵BC＝2AD,AD∥BC,F为BC的中点, ∴AD∥BF且AD＝BF, ∴四边形ABFD是平行四边形,∴AB∥DF. ∵CE⊥AB,∴DF⊥CE. 在Rt△BCE