1.2.2 矩形的判定（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

第2课时　矩形的判定 知识点1　根据矩形的定义判定矩形 1.如图,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是( C ) A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D.∠1＝∠2 2.[教材P16习题第1题改编]如图,在△ABC中,BD是AC的垂直平分线.过点D作AB的平行线交BC于点F,过点B作AC的平行线,两平行线相交于点E,连接CE.求证:四边形BECD是矩形. 证明:∵BD是AC的垂直平分线, ∴AD＝DC,BD⊥CA,∴∠BDC＝90°. 由题意知AB∥DE,AD∥BE,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD＝BE,∴DC＝BE. 又∵DC∥BE,∴四边形BECD是平行四边形. ∵∠BDC＝90°,∴平行四边形BECD是矩形. 知识点2　利用对角线的关系判定矩形 3.如图,有下列四个条件:①AB＝BC;②∠ABC＝90°;③AC＝BD;④∠ADC＝∠BAD.从中选取一个作为补充条件,使▱ABCD为矩形,其中错误的是( A ) A.① B.② C.③ D.④ 4.如图,在△ABC中,AB＝AC,O,D分别是AC,BC边的中点,连接AD,过点A作AE∥BC,交射线DO于点E,连接CE.求证:四边形ADCE是矩形. 证明:∵O,D分别是AC,BC的中点, ∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AB. 又∵AE∥BC,∴四边形ABDE是平行四边形, ∴AB＝ED,AE＝BD. ∵BD＝DC,∴AE＝DC. ∵AE∥DC,∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC,AB＝ED, ∴AC＝ED,∴平行四边形ADCE是矩形. 知识点3　利用有三个角是直角判定矩形 5.在数学活动课上,老师要求同学们判断一个四边形的小黑板是否为矩形,下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案,其中正确的是( A ) A.测量其中三个角是否都为直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否相互平分 6.如图,直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为10,则图中四边形的周长为　20　.  7.如图,在▱ABCD中,AE,BF,CN,DM分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,且相交于点O,K,H,G.求证:四边形HGOK是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AE,BF分别平分∠DAB,∠ABC, ∴∠BOK＝∠OAB＋∠OBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°, ∴∠GOK＝∠BOK＝90°, 同理可得∠OKH＝90°,∠KHG＝90°, ∴四边形HGOK是矩形. 8.[临沂中考]在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( D ) A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形 B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形 C.若BD＝CD,则四边形AEDF是菱形 D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形 9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB＝4 cm,AD>AB,CD＝5 cm,点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动,　3　秒后四边形ABPD是矩形.  第9题图 第10题图 10.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,AC与BD还要满足　AC⊥BD　,才能保证四边形EFGH是矩形.  11.如图,在等边△ABC中,D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE. (1)求∠CAE的度数. (2)取AB边的中点F,连接CF,CE.求证:四边形AFCE是矩形. 解:(1)∵AD是等边△ABC的中线, ∴∠CAD＝∠BAD＝30°. 又∵△ADE为等边三角形,∴∠DAE＝60°, ∴∠CAE＝∠DAE－∠CAD＝60°－30°＝30°. (2)∵F是等边△ABC的边AB上的中点, ∴CF⊥AB,∴∠BFC＝90°. ∵∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝60°＋30°＝90°, ∴AE∥FC. ∵AD,CF都是等边△ABC的中线,∴AD＝FC. ∵△ADE为等边三角形,∴AE＝AD, ∴AE＝FC, ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵∠FAE＝90°,∴平行四边形AFCE是矩形. 12.[改编]如图,D,E分别是不等边△ABC的边AB,AC的中点,O是△ABC内的动点,连接OB,OC,G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E. (1)求证:四边形DGFE是平行四边形. (2)当OA与BC满足什么关系时,四边形DGFE是矩形?请说明理由. 解:(1)∵D,E分别是边AB,AC的中点, ∴DE∥BC,DE＝BC. 同理可得GF∥BC,GF＝BC, ∴DE∥GF