1.2.1 矩形的性质（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

1.2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 知识点1　矩形的边、角的性质 1.如图所示,在矩形ABCD中,E是BC边的中点,且AE平分∠BAD,CE＝2,则CD的长是( A ) A.2 B.3 C.4 D.5 第1题图 第2题图 2.如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝8,BC＝6,把斜边AC分成n段,以每段为对角线作小矩形,则所有这些小矩形的周长的和是( B ) A.14 B.28 C. D. 知识点2　矩形的对角线的性质 3.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠AOB＝60°,AB＝4 cm,则该矩形对角线的长为( B ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 已知矩形的宽、对角线夹角,求对角线长→已知对角线长、对角线夹角,求矩形的边长→已知矩形的长和宽,求三角形的周长 (1)如图,矩形ABCD的对角线长10.若∠AOD＝120°,则AD的长为( B ) A.2 B.5 C.10 D.15 (2)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB＝3,BC＝4,则△AOB的周长为　8　.  4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,OE＝OF.求证:AE＝CF. 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OC. 又∵∠AOE＝∠COF,OE＝OF, ∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE＝CF. 知识点3　直角三角形斜边上的中线的性质 5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB的中点.若CD＝2,则AB的长为( C ) A.1 B.2 C.4 D.6 第5题图 第6题图 6.在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D,E分别是AB,BC的中点,延长AC到点F,使得CF＝AC,连接EF.若EF＝4,则AB＝　8　.  7.如图,△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB＝∠ADB＝90°,E为AB的中点. 求证:CE＝DE. 证明:∵在Rt△ABC中,E为斜边AB的中点, ∴CE为斜边AB上的中线,∴CE＝AB. 同理,在Rt△ABD中,DE＝AB,∴CE＝DE. 8.如图,在矩形ABCD中,AB＝2,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为( C ) A.4 B.2 C.2 D.2 已知矩形一边长求另一边长→已知矩形一个顶点到一条对角线的距离求对角线的长 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分BO.若AE＝ cm,则BD＝( C ) A.1 cm B.2 cm C.4 cm D.3 cm 9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,CD＝AE.若BD＝8,CD＝5,则△DCG的面积是( D ) A. B. C. D. 提示:连接ED.易得ED＝. 10.[张家界中考]如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证:DF＝AB; (2)若∠FDC＝30°,且AB＝4,求AD. 解:(1)在矩形ABCD中,∵AD∥BC, ∴∠AEB＝∠DAF. 又∵DF⊥AE,∴∠DFA＝90°＝∠B. 又∵AD＝EA,∴△ADF≌△EAB(AAS), ∴DF＝AB. (2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF＋∠ADF＝90°, ∴∠DAF＝∠FDC＝30°,∴AD＝2DF. ∵DF＝AB＝4,∴AD＝8. 11.在矩形ABCD中,AC是对角线,AE,CF分别平分∠BAC,∠ACD,且点E,F分别在边BC,AD上,连接EF交AC于点O. (1)求证:AE＝CF; (2)当∠ACB＝30°时,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请直接写出图中所有为AE长度一半的线段. 解:(1)∵矩形ABCD中,AB∥CD, ∴∠BAC＝∠DCA. 又∵AE,CF分别平分∠BAC,∠ACD, ∴∠BAE＝∠DCF. 又∵AB＝CD,∠B＝∠D＝90°, ∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE＝CF. (2)BE＝OE＝OF＝DF＝AE. 12.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. 性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等. 理解:如图1,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD＝S△BCD. 应用:如图2,在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝6,点E在AD上,点F在BC上,AE＝FB,AF与BE交于点O. (1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”; (2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积. 解:(1)∵四边形ABCD为矩形, ∴AD∥BC