精品解析：浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一(2-10班)下学期期中数学试题

北仑中学2020学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线a，b都与平面相交，则a，b的位置关系是 A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 2. 已知向量满足，，则 A. B. C. D. 3. 已知单位向量满足则=（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与的位置关系为 A. 平行 B. 相交成60°角 C. 异面成60°角 D. 异面且垂直 5. 如图所示，在中，D、E分别为线段、上的两点，且，，，则的值为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知是圆上的两个动点，，， 为线段的中点，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，E是线段的中点，F是棱上的动点，P为线段上的动点，则的最小值是（ ） A B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ） A. B. C. D. 若，，则 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 11. 给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ） A. 水平放置的角的直观图一定是角 B. 相等的角在直观图中仍然相等 C. 相等的线段在直观图中仍然相等 D. 两条平行线段在直观图中仍是平行线段 12. 如图，棱长为的正四面体形状的木块，点是的中心．劳动课上需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是（ ） A. 截面不是平行四边形 B. 截面是矩形 C. 截面的面积为 D. 截面与侧面交线平行于侧面 三、填空题（共4小题，每小题5，共20分） 13. 已知向量，，若，则______. 14. 一个正四棱柱的顶点都在一个球面上，且侧棱长是底面边长的2倍，则这个球与四棱柱的表面积的比值为________． 15. 将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥底面半径为________，圆锥的体积为________． 16. 定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，给出下面五个判断： ①若与共线，则；②若与垂直，则；③； ④对任意的，有；⑤ 其中正确的有________（请把正确的序号都写出）． 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 已知，． （1）求证：，不共线； （2）若． ①求实数，的值； ②若，求证：对于任意的实数，为定值，并求出这个定值． 18. 正三棱锥中，是的中点，，． （1）求三棱锥体积； （2）求证：平面； （3）求异面直线、所成的角的正弦值． 19. 如图所示的几何体由平面截棱长为2的正方体得到，其中、为原正方体的顶点，、、为原正方体侧棱的中点，正方形为原正方体的底面． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使三棱锥的体积恰为几何体的体积的？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在直角梯形中，角是直角，，，点为的中点，． （1）当时，用，表示； （2）求的最小值，及此时实数的值． 21. 如图，已知点P在圆柱底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）求异面直线与OP所成角的余弦值． 22. 如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求（结果用表示）； （2）若 ①求的取值范围： ②设，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北仑中学2020学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线a，b都与平面相交，则a，b的位置关系是 A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系的判断可得正确的选项. 【详解】如图，在正方体中取平面为平面， 取所在直线为直线，若取所在直线为直线，则， 若取所在直线为直线，则相交，若取所在直线为直线，则异面， 故三种情况都有可能． 故选：D. 2. 已知向量满足，，则 A. B. C. D. 【答