第11讲 函数的奇偶性（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

第11讲 函数的奇偶性 知识梳理与应用 主要考察一：奇偶性的定义与判断 1、轴对称图形与中心对称图形 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 性质：对称点的连线被对称轴垂直平分. 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质：对称点的连线被对称中心平分. 2、偶函数与奇函数 偶函数：关于原点对称，； 奇函数：关于原点对称，； 偶函数等价形式：关于原点对称，； 奇函数等价形式：关于原点对称，； 定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件.若定义域不关于原点对称，则函数必为非奇非偶函数. 3、函数运算与函数复合的奇偶性 运算或复合后定义域依然关于原点对称的情况下 运算：奇奇=奇；偶偶=偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶； 复合：奇（奇）=奇；奇（偶）=偶；偶（奇）=偶；偶（偶）=偶. 4、常见的奇偶函数模型 常见的奇函数模型： 奇次幂函数及其线性组合：； 定义域关于原点对称，函数是奇函数； 指数复合：； 对数复合：，； ； ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 常见的偶函数模型： 偶次幂函数及其线性组合： ； 定义域关于原点对称，函数是偶函数； 自变量加绝对值：； 指数复合： ； 基础1：判断函数的奇偶性 【例1】（编者精选）★★☆☆☆ 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；；（2）；（3）； （4）；（5） 【答案】答案见解析 【详解】 （1）此函数的定义域为R，，∴此函数为奇函数． （2），∴此函数的定义域为 ∴此函数为偶函数 （3），∴此函数的定义域为 ，∴此函数为偶函数 （4），∴此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数 （5） ，，∴此函数的定义域为 ∴此函数既是奇函数又是偶函数 【例2】（2021·上海徐汇区·高三二模）★★★☆☆ 已知函数．针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性． 【答案】当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 【详解】 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若