专题10 导数及其应用-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（理科专用）

专题09 导数及其应用（理科） 专题导航 目录 常考点01 导数的几何意义（切线方程） 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02 利用导数研究函数的单调性 2 【典例2】 2 【考点总结与提高】 3 【变式演练2】 3 常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 3 【典例3】 3 【考点总结与提高】 4 【变式演练3】 4 常考点04 利用导数研究函数的图像 5 【典例4】 5 【考点总结与提高】 5 【变式演练4】 5 常考点05 利用导数研究函数的零点 6 【典例5】 6 【考点总结与提高】 6 【变式演练5】 6 【冲关突破训练】 6 常考点归纳 常考点01 导数的几何意义（切线方程） 【典例1】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】1.B 2. 【考点总结与提高】 求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法 （1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上. ②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 【变式演练1】 1．设曲线在点(0,0)处的切线方程为，则a= A．0 B．1 C．2 D．3 2．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 常考点02 利用导数研究函数的单调性 【典例2】 1．若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 2. （2021年卷甲理科第21题（1））已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； 【考点总结与提高】 1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)； （2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号； （3）作出结论，时为增函数，时为减函数． 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点. 3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 【变式演练2】 1. 已知函数，讨论的单调性。 2. 设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间. 常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 【典例3】 1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则(　　) A B． C． D． 2．（2021年全国新高考甲卷数学试题）函数的最小值为______. 【考点总结与提高】 1．函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数极值的方法： ①确定函数的定义域． ②求导函数． ③求方程的根． ④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的