微专题06 函数的单调性与最值-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题6：函数的单调性与最值 【知识精讲】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.复合函数的单调性 形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 简称为“同增异减”. 【典型例题】 考向1：判断函数单调性(单调区间) 判断函数单调性(单调区间)的常用方法 (1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论． (2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间． (3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表： 函数 增减情况 内函数t＝φ(x) 增 增 减 减 外函数y＝f(t) 增 减 增 减 y＝f(φ(x)) 增 减 减 增 y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数． (4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 【例1】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 【变式1-1】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 【答案】A　 【解析】对于A，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C，函数y＝2－x＝在R上为减函数，故不符合；对于D，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合． 【变式1-2】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A． y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋ 【答案】A　 【解析】函数y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数 y＝－在[－1，＋∞)上是减函数；函数y＝在(0，＋∞)上是减函数；函数y＝x＋在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．综上可得，在(0，＋∞)上是增函数的是y＝ln(x＋2)，故选A. 【变式1-3】（2019年北京市高考数学试卷（文科））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A． B．y= C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【解析】函数， 在区间 上单调递减，函数 在区间上单调递增，故选A. 【例2】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调