专题14 解析几何综合题 - 备战2022届新高考数学之八省强区名校模拟题分类汇编（新高考地区专项）

专题14 解析几何综合题-备战2022年新高考数学之八省强区模拟题分类汇编 1.（福建省福州市第一中学2021届高三适应性练习一）已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，点. 【详解】解：（1）由题意可知，，. 设点，，，在椭圆上，所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以椭圆方程为. （2），设直线：，联立方程得， 所以，，所以， 假设存在点，则的直线方程为，所以. ，， 若为等边三角形，则， 即，解得，此时， 所以存在点，使得为等边三角形. 2.（河北省石家庄二中2021届高三上学期期末质量检测）已知点，和抛物线，过点的动直线交抛物线于，直线交抛物线于另一点，为坐标原点. （1）求； （2）证明：恒过定点. 【答案】(1)5; (2)恒过定点,证明见解析 【详解】(1) 设点,因三点共线,故,即 ,即,所以. 故. (2) 设点,因为三点共线,所以,所以,即,化简得. 由(1) ,所以,即,即...① 因,所以直线的方程为, 即,即,由①有,代入可得. 所以直线恒过定点. 3.（广东省2021届高三下学期六校第三次联考）已知，，椭圆经过点且焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点， 求的最小值； （3）如图是椭圆旋转一定角度的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的位置，并在答卷的图中画出来，（不必说明理由）. 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析. 【详解】（1）依条件知，椭圆的焦点在轴上，长半轴为，短半轴为，且焦距. ，椭圆的两焦点分别为. 椭圆经过点， 椭圆的方程是； （2） 设，线段的中点为， 则. ①当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为， 则直线方程为， ， ， ， 又中点在直线（即）上，所以， . ②当直线垂直于轴时，过，此时也满足上式. ，当时，有最小值， 最小值为； （3）作图方案步骤如下： ①先做两组平行的弦，； ②再分别作出四弦的中点，，，； ③再过每组平行弦中点作直线，； ④作直线，的交点，即为所求.如图示 理由如下（不必写出），设为对称中心，则 ， ， 同理，， 同理， 其他方案只要合理即可. 4.（湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考）已知在平面直角坐标系中，圆：的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为的两直线交动点的轨迹于两点（异于点），若，证明：直线过定点. 【答案】（1）;（2）直线过定点，证明见解析. 【详解】（1）由圆：可得， 所以圆心，圆的半径， 因为，所以， 因为，所以，可得，所以， 所以, 由椭圆的定义可得：点的轨迹是以、为焦点，的椭圆， 即，，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）由（1）知，，设，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 由 可得， 所以，， 因为 ， 所以， 即， 整理可得：， 所以或， 当时，直线的方程为：，此时过点不符合题意， 所以， 所以直线的方程为：， 此时直线过点， 当直线的斜率不存在时，， ，解得， 此时直线的方程为：，过点， 综上所述：直线过定点. 5.（广东省2021届高三一模）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为求点到直线距离的最大值. 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由题意可得， 所以由题意可得且，解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）设点，，由（1）易求得． 当直线的斜率不存在时，设其方程为（且）， 联立得因为 所以，即． 解得或（舍），此时点到直线的距离为． 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去并整理得． 则 所以，即． 所以． 即． 整理得． 即，所以或． 若，则直线的方程为． 所以直线过定点，不合题意． 若，则直线的方程为，所以直线过定点． 又因为，所以点在椭圆内． 设点到直线的距离为，所以． 所以点到直线距离的最大值为． 6.（湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考）已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）依题意：，因此，椭圆E的标准方