专题08函数模型及函数的综合应用-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

专题08 函数模型及函数的综合应用 专题导航 目录 常考点01 二次函数模型的应用 1 常考点02 分段函数模型的应用 3 常考点03 指数、对数函数模型的应用 5 常考点04 函数模型的综合应用 7 常考点归纳 常考点01 二次函数模型的应用 【典例1】 1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 2.某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现:①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系: r(x)=kx+b1,在销售淡季近似地符合函数关系: r(x)=kx+b2，其中k<0, b1, b2>0且k，b1, b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍。请根据上述信息，完成下面问题: ⑴写出销售旺季与淡季，销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式。 ⑵在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件? 【考点总结与提高】 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 【变式演练1】 1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 (　　) A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A． B． C． D． 常考点02 分段函数模型的应用 1．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 (单位：百件)关于每件衣服的利润 (单位：元)的函数解析式为， 则当该服装厂所获效益最大时， （ ） A．20 B．60 C．80 D．40 2．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义． 【考点总结与提高】 （1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数． （2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． 【变式演练2】 1．已知实数，函数若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2.已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件，本全部销售完，每1千件的销售收入为R(x) 万元,且R(x)= 。 ⑴写出年利润W(万元)关于年产品(千件)的函数解析式； ⑵年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? 常考点03 指数、对数函数模型的应用 1．（2020山东6）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（） （ ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．(