暑假复习卷(十二) 单元深化：立体几何、空间向量相关的核心问题-【精彩假期】高二数学暑假作业（人教A版 浙江专版）

暑假复习卷(十二) [核心夯实] 1．A　2．C 3．　8　【解析】 根据三视图作出几何体的直观图如图所示： 该几何体为四棱锥，设E在底面ABCD内的投影点为F点，且F为BC的中点， 根据三视图可知：EF⊥平面ABCD，所以VE­ABCD＝×EF×S矩形ABCD＝×2×＝. 因为S△EAB＝S△ECD＝×2×＝2，S△EBC＝×2×4＝4，AE＝DE＝＝2， 所以S△EAD＝×4×＝4， S矩形ABCD＝2×4＝8， 所以各个面中，面积最大的是8. 4．8π　【解析】 四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，AC＝1，AB＝，且∠BAC＝90°，AD＝2， 将四面体ABCD补成长方体ABEC­DMNP， 则长方体的体对角线长为球O的直径2R，则2R＝＝2， 因此，球O的表面积为S＝4πR2＝π·＝8π. 5．D　【解析】 ∵直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，∴m∩α＝A， ∴直线m，n的位置关系不可能是平行．故选D. 6．B　【解析】 取BD的中点E，连接RE，EP， 由题意可知R，P分别为AB，BC的中点，Q为BE的中点， 所以RE∥AD，PE∥DC，所以平面RPE∥平面ACD， 又平面RPQ与平面RPE有公共点， 所以平面RPQ与平面ACD不平行，故选项A错误； 连接AE，CE，因为A­BCD为正三棱锥， 所以△BCD为正三角形且AB＝AC＝AD， 所以BD⊥CE，BD⊥AE，且CE∩AE＝E，CE，AE⊂平面ACE， 故BD⊥平面ACE， 又因为R，P，Q分别为AB，BC，BE的中点，所以RQ∥AE，PQ∥CE， 所以平面RPQ∥平面AEC，所以BD⊥平面RPQ， 又因为BD⊂平面BCD，所以平面RPQ⊥平面BCD，故选项B正确； 因为RQ∥AE，且AE∩AC＝A，故AC与RQ不平行，故选项C错误； 假设PQ⊥AD，因为PQ∥CE，所以CE⊥AD， 又因为BD⊥CE，则CE⊥平面BAD，所以CE⊥AE，又AE⊥BD， 所以AE⊥平面BDC，所以AE⊥EC， 则AC2＝AE2＋EC2，AB2＝AE2＋BE2， 又因为AC＝AB，所以EC＝BE，但△BCD为正三角形，故EC≠BE， 所以假设不成立，故PQ与AD不垂直，故选项D错误； 故选B. 7．①②③④　8．②④ 9．B　【解析】 如图，AB的两个端点A∈α，B∈β，过A点作AA′⊥β，交β于A′，连接BA′， 则∠ABA′为线段AB与β所成角，且∠ABA′＝30°， 同理，过B作BB′⊥α，交α于B′，则∠BAB′为BB′与α所成角，且∠BAB′＝30°， 过B作BD∥A′B′，且BD＝A′B′，则∠ABD为所求， ∴四边形A′B′BD为矩形，设AB＝2，在Rt△ABB′中， BB′＝AB sin 30°＝AB＝1， 在Rt△ABA′中，AA′＝AB sin 30°＝AB＝1，A′B＝AB cos 30°＝ AB＝， 所以BD＝＝，同理AD＝， 所以sin ∠ABD＝，故∠ABD＝45°，故选B. 10．D　【解析】 如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则E， F，G， H，＝， ＝，＝，＝， 显然面ABCD的法向量为n＝，设面EFG的法向量为m＝，则即令y＝1，则z＝1，x＝1，所以m＝， 所以|cos α|＝＝，易知α为锐角，∴cos α＝.sin β＝＝＝，所以cos β＝＝，cosγ＝＝＝. 因为>，即cos α>cos γ，所以γ>α＝β. 故选D. 11．90°　15°或75° 【解析】 连接MP，PN，NQ，MQ， ∵M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，BD的中点， ∴MQ =CD，PN=CD， ∴MQ=PN， ∴四边形MPNQ是平行四边形， ∵MP＝AB，AB＝CD， ∴MP＝CD， ∴MP＝MQ，故四边形MPNQ是菱形， ∴MN⊥PQ，故MN和PQ所成角为90°. ∵MP∥AB，MQ∥CD， ∴∠PMQ即为AB与CD所成角(或其补角)， ∴∠PMQ＝30°或150°， 而∠NMQ为MN和CD所成角，且∠NMQ＝15°或75°， 即MN和CD所成角为15°或75°. 12．　【解析】 取BD的中点O，连接AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4.BC＝CD＝2，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO＝2，∴∠AOC是二面角A­BD­C的平面角，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，设二面角A­BD­C的平面角为θ，则∠AOC＝θ，θ∈，A(2cos θ，0，2sin θ)，∴＝(2cos θ，2，2sin θ)，＝(－2，2，0)， 设AB，CD的夹角为α，则cos α＝＝， ∵θ∈，∴cos θ