专题2.8 解一元二次方程—因式分解法（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（湘教版）

专题2.8 解一元二次方程—因式分解法（拓展提高） 一、单选题 1．方程 的根是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵（x 1）（x+3）=x 1， ∴（x 1）（x+3） （x 1）=0， ∴（x 1）（x+2）=0， 则x 1=0或x+2=0， 解得：x1=1，x2= 2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．若分式 的值为0，则x的值为（ 　） A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0列方程或不等式即可． 【详解】解：∵分式 的值为0， ∴ =0且 ≠0， 解方程得， ； 解不等式得， ； 故 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为0和解一元二次方程，解题关键是根据已知列出方程和不等式，准确求解． 3．关于x的一元二次方程 的一个根是0，则 的值是（ ） A．−3或1 B．1 C．−3 D． 【答案】B 【分析】把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性． 【详解】∵关于x的一元二次方程 的一个根是0， ∴ +2k-3=0，且k+3≠0, ∴k=1或k=-3, 且k+3≠0, ∴k=1, 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键． 4．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝ ，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（ ） A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8 【答案】A 【分析】分 和 两种情况，分别可得一个关于 的方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当 时， 则 ，即 ， 解得 或 （舍去）； （2）当 时， 则 ，即 ， 解得 （舍去）； 综上， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正确理解新运算的定义是解题关键． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ） A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6 【答案】D 【分析】先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°， ∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点， ∴ME、NE是△ABP的中位线， ∴ME∥BP，NE∥AP， ∴四边形PMEN是平行四边形， 当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形， 设DP＝x，CP＝10﹣x， 由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2， ∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102， AD2+x2﹣10x＝0， ①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0， x＝1或x＝9，符合题意； ②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0， x＝2或x＝8，符合题意； ③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0， x＝5，符合题意； ④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 6．如图，正方形 的边长为 ，点 分别为边 上的点，点 分别为 边上的点，连接 ，若线段 与 的夹角为 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作BK EF交AD于K，作BM GH交CD于M，则BK＝EF，BM＝GH，作∠KBN＝45°交DA的延长线于N，得到∠ABN＝∠CBM，根据全等三角形的性质得到BN＝BM，AN＝CM，根据勾股定理得到CM，过点K作KP⊥BN于P，设EF＝BK＝x，则BP可求，再列方程即可得到结论． 【详解】解：如图，过点B作BK EF交AD于K，作BM GH交CD于M， 则BK＝EF，BM＝GH＝ ， ∵线段GH与EF的夹角为45°， ∴∠KBM＝45°， ∴∠ABK＋∠CBM＝90°−45°＝45°， 作∠KBN＝45°交DA的延长线于N， 则∠ABN＋∠ABK＝45°， ∴∠ABN＝∠CBM， 在△ABN和△CBM中， ， ∴△ABN≌△CBM（ASA）， ∴BN＝BM，AN＝CM， 在Rt△BCM中，CM＝ ， 过点K作KP⊥BN于P， ∵∠