23.1.2 平行线分线段成比例-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.1.2平行线分线段成比例 基础知识 1.平行线分线段成比例定理。 (1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； (2)两条直线被一组平行线所截，如果在一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。 【提醒】平行线分线段成比例定理的运用，关键是找准对应对应线段之间比的关系。 2．三角形两边被平行于第三边的直线所截，所对应的线段成比例。 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。 例题 例1．如图，在△ABC中，DE BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC＝2：3，AB＝15，求AD和DB的长． 【答案】AD＝6，DB＝9． 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵AE∶EC＝2∶3，AB＝15， ∴ ＝ ， ∴AD＝6， ∴ ． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键． 例2．如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8． （1）求 的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE的长． 【答案】（1） ；（2）11 【分析】 （1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可； （2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果． 【详解】 解：（1）∵AD BE CF， ∴ ， ∵AB=6，BC=8， ∴ ， 故 的值为 ； （2）如图，过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G， ∵AG DF，AD BE CF， ∴AD=HE=GF=5， ∵CF=19， ∴CG=CF-GF=14， ∵BE CF， ∴ ， ∴ ， 解得BH=6， ∴BE=BH+HE=11． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键． 练习 1．如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（ ） A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF C．AC·DF=CE·BD． D．CD2=AB·EF 2．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，则 的值为（ ） A． B． C． D．1 3．如图，点 ， 在 的边 上，点 ， 在 上， ， ， ，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在□ABCD中，AE＝ AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（　　） A．3 B．4 C．4.2 D．4.8 6．如图， ，直线a，b与 分别交于点A，B，C和点D，E，F．若 ， ，则 _________． 7．如图， 、 分别是 边 、 上的点， ， ， ， ，则 长为____． 8．如图，已知 ，则 ______． 9．如图， ，则 ______________． 10．如图，已知一组平行线a b c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__． 11．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长． 12．已知：如图，点 、 在 上，点 在边 上，且 ， ．求证： ． 13．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长． 14．如图，在 中，点D，E分别在 ， 的边上， ，求 的长． 15．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求 的值． 参考答案 1．C 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到 ， ，然后根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】 解：∵AB//CD//EF， ∴ ， ， ∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE． 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．A 【分析】 根据平行线分线段成比例，先求得 ，继而求得 ． 【详解】 AB∥CD∥EF ，BD=2，DF=4， 故选A． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，熟练平行线分线段成比例是解题的关键． 3．A 【分析】 由 EMBED Equation.DSMT4，可以得到△ADF∽△AEG∽△ABC，由相似三角形的性质可以判定B、C、D不正确，由平行线断成比例可以得到A正确． 【详解】 解：∵ ， ， ， ∴ EM