1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第一章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，知识梳理 考点1 一元二次方程的根与系数的关系 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 例题剖析 已知关于x的方程2x2＋x＋a＝0有一个根为1，则另一个根是（ ）【例题1】 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由于该方程的常数项是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算． 【详解】 解：设方程的另一根为x1， 由根与系数的关系可得：，1+x1=，解得x1＝． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1•x2＝． 若、是方程的两根，则x1+x2=______．【例题2】 【答案】5 【分析】 利用一元二次方程的根与系数关系解答即可． 【详解】 ∵、是方程的两根， ∴， 故答案为：5 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是理解并掌握一元二次方程的根、与系数的关系， ，． 知识梳理 考点2一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 若，是方程的两根，则________．例题剖析 【例题1】 【答案】4 【分析】 根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】 解：∵，是方程的两根， ∴， ． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键． 已知关于的方程有两个实数根，．【例题2】 （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行求解即可． 【详解】 （1）∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得，即， ∴的取值范围是． （2）由韦达定理可知，， ∵，∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 好题速递 基础巩固 1．关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】A 【分析】 根据根的判别式，根与系数的关系进行判断即可． 【详解】 原方程有两个不相等的实数根，设两根分别为 同号 即原方程有两个正根． 故选A． 【点睛】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 2．关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 【答案】B 【分析】 由方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2＝4﹣m，x1•x2＝m，代入x1+x2＝5可以得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝4﹣m，x1•x2＝m， 又x1+x2＝5， ∴4﹣m＝5， ∴m＝﹣1，则x1•x2＝﹣1， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是根据题意先求出x1+x2＝4﹣m，x1•x2＝m． 3．若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】 根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】 的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选