第二章 章节拓展训练-2021-2022学年秋季八年级数学基础培优精讲精练学案（苏科版）

第二章 章节拓展训练 1.如图2－114所示，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 54°，点D为AB的中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC = _________ 度. 1.【答案】108[提示:连接OB，OC，∵∠BAC = 54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO = ∠BAC = × 54° = 27°.又∵AB = AC，∴∠ABC = × （180°－∠BAC） = × （180°－54°） = 63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA = OB，∴∠ABO = ∠BAO = 27°，∴∠OBC = ∠ABC－∠ABO = 63°－27° = 36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB = AC.∴易证△AOB≌△AOC（SAS），∴OB = OC，∴∠OCB = ∠OBC = 36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE = CE，∴∠COE = ∠OCB = 36°，在△OCE中，∠OEC = 180°－∠COE－∠OCB = 180°－36°－36° = 108°.] 2.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC交BC于点D，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E，交AC于F，交BC的延长线于M，求证∠M = （∠ACB－∠B）. 2.【答案】证明:∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1 = ∠2，∠APE = ∠APF = 90°，又∵∠AEF = 180°－∠1－∠APE，∠AFE = 180°－∠2－∠APF，∴∠AEF = ∠AFE，∵∠CFM = ∠AFE，∴∠AEF = ∠CFM，∵∠AEF = ∠B + ∠M、∠CFM = ∠ACB－∠M，∴∠B + ∠M = ∠ACB－AM.∴∠N = （∠ACB－∠B）. 3.如图2－116所示，在△ABC中，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点，且DE⊥DF，求证AE + BF > EF. 3.【答案】证明:如图，延长ED至G点，使DG = ED，连接GB、GF，∵DE⊥DF，∴F在线段EG的垂直平分线上，∴EF = FG，∵D是AB的中点，∴BD = AD，又∵∠BDG = ∠ADE、DG = DE，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG = AE，∵在△BFG中，BG + BF > GF，∴AE + BF > EF. 4.角平分线上的点到角两边的距离相等.这一性质在解决图形面积问题时有何妙用呢? 阅读材料 如图2－117（1）所示，在面积为S的△ABC中，BC = a，AC = b，AB = c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r.连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形. ∵S = S△OBC + S△OAC + S△OAB = BC·r + AC·r + AB·r = （a + b + c）·r，∴r = . 类比推理 若面积为S的四边形ABCD的四条角平分线交于O点，如图2－117（2）所示，各边长分别为AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，求点O到四边的距离r； 理解应用 如图2－117（3）所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB = 21，CD = 11，AD = BC = 13，对角线BD = 20，点O1与O2分别为△ABD与△BCD的三条角平分线的交点，设它们到各自三角形三边的距离为r1和r2，求的值. 4.【答案】解:类比推理:如图，连接OA，OB，OC，OD，∵S =，∴ 。理解应用：∵AB∥CD，∴= AB:CD = 21:11。∵，，。 5.锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形.我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板.把两块全等的等腰直角三角板按如图（1）所示放置，其中边BC，FP均在直线l上，边EF与边AC重合. （1）将△EFP沿直线l向左平移到如图（2）所示的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想. （2）将△EFP沿直线l向左平移到如图（3）所示的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 5.【答案】解:（1）BQ = AP，BQ⊥AP.证明如下:如图61（1）所示，延长BQ交AP于点M，∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角形，∴BC = AC，AC⊥BC，∠EPF = 45°，∴∠BCQ