第10讲 轴对称章节复习-2021-2022学年秋季八年级数学基础培优精讲精练学案（苏科版）

本章复习 思想方法 方法1 整体思想 在遇到利用线段垂直平分线的性质求三角形的周长或已知三角形的周长求某线段的长及综合运用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质求角的度数时，经常会用到整体思想. 例1 如图2－120所示，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD = DE. （1）若∠C = 40°，求∠BAD的度数； （2）若AC = 5，DC = 4，求△ABC的周长. 【解析】 （1）根据线段垂直平分线的性质得出AE = CE，进而得出∠C = ∠EAC，即 可得出答案.（2）根据已知能推出△ABC的周长 = 2DC + AC，即可得出答案. 解:（1）∵EF垂直平分AC，∴AE = CE，∴∠C = ∠EAC = 40°， ∵AD⊥BC，BD = DE，∴AB = AE，∴∠B = ∠BEA = 2∠C = 80°，∴∠BAD = 90° - ∠B = 10°. （2）由（1）知AE = CE = AB，且BD = DE，∴AB + BD = DE + CE = DC， ∴△ABC的周长 = AB + BC + AC = 2DC + AC = 2 × 4 + 5 = 13. 【解题方法】解答本题有两个关键点:①利用线段垂直平分线的性质，借助AE这个桥梁得到AB = CE；②利用整体思想把AB + BC转化成2CD. 方法2 方程思想 在解本章有些题目时，有时会利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理所蕴含的等量关系，并结合图形中隐含的角与角之间的等量关系，建立适当的方程（组）来解答. 例2 如图2－121所示，在△ABC中，AB = AC，∠B = 30°，点D从点B出发，沿BC方向运动到点C（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE = 30°，DE交从点B出发，沿BC方向运动到点C（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE = 30°，DE交AC于点E，设∠BAD = x，∠AED = y. （1）当BD = AD时，求∠DAE的度数；（2）求y与x的关系式； （3）当BD = CE时，求x的值. 【解析】（1）当BD = AD时，△ABD为等腰三角形，结合AB = AC可得到∠DAE的度数.（2）y与x的关系式由三角形的内角和定理得到.（3）当BD = CE时，得到△ABD≌△DCE，由此求出x的值. 解:（1）当BD = AD时，∠B = ∠BAD = 30°，∵AB = AC，∴∠B = ∠C，∴∠BAC = 120°，∴∠DAE = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 30° = 90°. （2）由（1）可知∠BAD + ∠DAE = 120°，∴x + ∠DAE = 120°，①又∠AED + ∠DAE = 180° - ∠ADE = 150°，∴y + ∠DAE = 150°，②由②一①得y - x = 30°，即y = x + 30°. （3）由图及题意可知∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠EDC，且∠B = ∠ADE = 30°，∴∠BAD = ∠EDC = x，又由（1）及已知得∠B = ∠C，BD = CE，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD = AB = AC，∴△ACD为等腰三角形， 又∠C =∠B = 30°，∴∠DAE = 75°，∴x=∠BAC - ∠DAE = 120° - 75° = 45°. 【解题方法】本题渗透了方程的数学思想，当解这类无法直接通过已知条件求解角度的题目时，一般首先设这个角度为x，然后利用三角形的内角和定理来构造方程（组）求解. 方法3分类讨论思想 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质外，还具有自身独特的性质，最主要体现在它的两腰相等和两底角相等上.正因为等腰三角形的特殊性，所以当解等腰三角形的有关题目时，必须全面思考，分情况讨论.在所给的等腰三角形中，若没有指明所给的边是三角形的腰还是底边，所给的角是顶角还是底角时，则需要我们对所有可能出现的情况加以讨论，进而求得结果. 例3 如图2－122所示，点O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB = 110°，∠BOC = α，△BOC≌△ADC，∠OCD = 60°，连接OD. （1）求证△OCD是等边三角形. （2）当a = 150°时，试判断△AOD的形状（按角分类），并说明理由. （3）求∠OAD的度数. （4）探究:当a = _________ 时，△AOD是等腰三角形?（不必说明理由） 【解析】（1）根据全等三角形的性质得到OC = DC，根据等边三角形的判定定理证明即可.（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC = ∠BOC = α = 150°，结合图形计算即可.（3）根据全等三角形的性