专题17—解三角形（4）—范围、最值问题-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题17—解三角形（4）—范围、最值问题 考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题。 2、 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题 高频考点：1、边角的求解； 2、判断三角形的形状； 3、 求与面积、范围有关的问题； 4、 解决平面几何图形问题； 5、 解决实际问题。 高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。 1、 典例分析 题型四：范围、最值问题 1．（2018•江苏）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为　　． 2．（2014•重庆）已知 的内角 ， ， 满足 ，面积 满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， 所对的边，在下列不等式一定成立的是 　　 A． B． C． D． 3．（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角 为直线 与平面 所成的角）．若 ， ， ，则 的最大值是 　　 A． B． C． D． 4．（2014•江苏）若 的内角满足 ，则 的最小值是　　． 5．（2020•浙江）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围． 6．（2020•新课标Ⅱ） 中， ． （1）求 ； （2）若 ，求 周长的最大值． 二、真题集训 1．（2016•北京）在 中， ． （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）求 的最大值． 2．（2015•湖南）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，且 为钝角． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求 的取值范围． 3．（2013•江西）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的取值范围． 4．（2013•重庆）在 中，内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设 ， 为 的面积，求 的最大值，并指出此时 的值． 5．（2013•福建）如图，在等腰直角 中， ， ，点 在线段 上， （Ⅰ）若 ，求 的长； （Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，问：当 取何值时， 的面积最小？并求出面积的最小值． 6．（2013•新课标Ⅱ） 在内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 面积的最大值． 典例分析答案 题型四：范围、最值问题 1．（2018•江苏）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为　　． 分析：根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 解答：解：由题意得 ， 即 ， 得 ， 得 ， 当且仅当 ，即 时，取等号， 故答案为：9． 点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键． 2．（2014•重庆）已知 的内角 ， ， 满足 ，面积 满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， 所对的边，在下列不等式一定成立的是 　　 A． B． C． D． 分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论． 解答：解： 的内角 ， ， 满足 ， ， ， ， ， 化为 ， ． 设外接圆的半径为 ， 由正弦定理可得： ， 由 ，及正弦定理得 ， 即 ， 面积 满足 ， ，即 ， 由 可得 ，显然选项 ， 不一定正确， ． ，即 ，正确， ． ，即 ，但 ，不一定正确， 故选： ． 点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 3．（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角 为直线 与平面 所成的角）．若 ， ， ，则 的最大值是 　　 A． B． C． D． 分析：在直角三角形 中，由 与 的长，利用勾股定理求出 的长，过 作 ，交 于点 ，连接 ，利用锐角三角函数定义表示出 ，设 ，则 ，利用锐角三角函数定义表示出 ，利用勾股定理表示出 ，表示出 ，即可确定出 的值． 解答：解： ， ， ， ， 过 作 ，交 于 ，连接 ，则 ， 设 ，则 ， 由 ，得 ， 在直角 中， ， ， 令 ，则函数在 ， 单调递减， 时，取得最大值为 ， 若