第9讲 一元二次方程单元复习-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第9讲 一元二次方程单元复习 一元二次方程是初中数学计算的一个重要工具，一元二次方程思想也是初中数学中重要的解题思想，它与二次函数有着密切的关系，同时在有求未知数的题目中，经常运用方程思想求解，这就要求同学们一定要把现在的一元二次方程基础夯实，为以后的综合学习奠定良好的基础． SHAPE \* MERGEFORMAT 1．一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程． 2． 一元二次方程的一般形式 一般形式： ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项． 3．一元二次方程的解法 解法1：直接开平方法：适合类型： ，当 时，原方程无实数解． 解法2：因式分解法： （1） 将方程右边化为 ； （2） 将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程； （3） 令每一个因式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4） 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 解法3：配方法： （1） 先把二次项系数化为 ：方程两边同除以二次项的系数； （2） 移项：把常数项移到方程右边； （3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为 的形式； （4）当 时，用直接开平方法解变形后的方程． 解法4：公式法： （1）把方程化为一般形式，进而确定 的值．(注意符号) （2）求出 的值．(先判别方程是否有根) （3）在 的前提下，把 的值代入求根公式，求出方程的根． 4、一元二次方程 的根的判别式是 ．当 时，�方程有两个不相等的实数根 ， ；当 时，方程有两个相等实数根 ；当 时，方程没有实数根． 5、韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根，由求根公式法 得： ， ；则 ． 这是一元二次方程根与系数的关系 6、二次三项式的因式分解： （1）形如 （ 都不为 ）的多项式称为二次三项式； （2）当 ，先用公式法求出方程 的两个实数根 ， 再写出分解式 ；当 ，方程 没有实数根， 在实数范围内不能分解因式． 7、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． 列一元一次方程解应用题的步骤： 1 审题；②设未知数；③找等量关系； ④列方程； ⑤解方程； ⑥写答句． 知识点01 一元二次方程的有关概念 【知识拓展1】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 【答案】B； 【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0， 解得：a=﹣1．故选B． 【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0． 【即学即练1】关于x的方程, 当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程. 【答案】=4；≠4且≠-2. 【知识拓展2】已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值. 【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m＝±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m＝－1. 【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可. 特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意. 【即学即练2】若方程是关于的一元二次方程，求m的值． 【答案】 根据题意得 解得 所以当方程是关于的一元二次方程时，． 知识点02 一元二次方程的解法 【知识拓展1】用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x2-=0；　　 　 (2) (x+a)2=； 　(3) 2x2-4x-1=0；　　　 (4) (1-)x2=(1+)x． 　【答案与解析】　(1)原方程可化为0.5x2=，∴x2= 　用直接开平方法，得方程的根为x1=，x2=-． 　(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=a2 　 用直接开平方法，得原方程的根为　x1=a，x2=-a． 　(3) a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0 x= ∴x1=，x2=. (4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0 用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0 ∴ x1=0，x2=-3-2． 【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用 这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有