22.2.4 一元二次方程根的判别式-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

22.2.4一元二次方程根的判别式 基础知识 1.一元二次方程根的判别式 △=b2-4ac叫做一元二次方程 （ 是常数）的根的判别式。 2、△>0 有两个不相等的实数根; △=0 有两个相等的实数根; △<0 没有实数根; △≥0 有实数根. 【提醒】应用根的判别式时,其前提条件为二次系数不为0.不解方程，判断方程根的情况时，须做到：(1)明确方程是常数系数方程还是字母系数；(2)确定二次方程中的a，b，c；(3)求出b 2－4ac的值，利用判别式的性质进行判断． 例题 例1．已知：关于x的方程 ． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根： （2）若 ，请解此方程． 【答案】见解析；（2）x1＝ ，x2=-2 【分析】 （1）由△=k2-4×2（k-3）=k2-8k+24=（k-4）2+8＞0可得结论； （2）将k=5代入方程得2x2+5x+2=0，利用配方法解方程即可． 【详解】 解：（1）∵△=k2-4×2（k-3）=k2-8k+24=（k-4）2+8＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=5时，原方程为：2x2+5x+2=0， ∴（2x+1）（x+2）=0， ∴x1= ，x2=-2． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；也考查了配方法． 例2．关于 的一元二次方程 有两个实数根． （1）求 的取值范围； （2）若 为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） 且 ；（2） ， 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式组求解即可； （2）根据（1）得到m的值，求出方程的解． 【详解】 解：（1）∵ EMBED Equation.DSMT4， 依题意，得 ， 解得 且 ． （2）∵ 为正整数， ∴ ． ∴原方程为 ． 解得 ， ． 【点睛】 此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握本章知识并应用解决问题是解题的关键． 练习 1．下列一元二次方程中,没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 且 3．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 且 4．一元二次方程4x2＋1＝﹣4x的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 6．一元二次方程 的根的情况是______． 7．如果关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是______________． 8．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为______． 9．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 的两个根，则k的值等于______________． 10．若关于x的方程 无解，则m的取值范围是______． 11．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若此方程的一个实数根为1，求m的值及方程的另一个实数根． 12．已知关于 的一元二次方程 ． （1）若 ，求此方程的解； （2）若该方程无实数根，求 的取值范围． 13．已知：关于x的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 14．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值． 15．已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程 的两个实数根． （1）求m的值； （2）求正方形的面积． 参考答案 1．A 【分析】 根据一元二次方程根的判别式 逐个求解即可． 【详解】 A､ ,没有实数根,故A正确; B､ ,有两个相等的实数根,故B不正确; C､ ,有两个不相等的实数根,故C不正确; D､ ,有两个不相等的实数根,故D不正确． 故选:A． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式 ,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 2．C 【分析】 根据一元二次方程解的情况利用根的判别式可求出a的取值范围，同时必须考虑 的情