考点03 勾股定理的应用-2021-2022学年八年级数学上册课时同步考点类型大总结（北师大版）

第一章 探索勾股定理 考点类型大总结 【知识点及方法技巧梳理】 考点一：利用勾股定理解决最值问题 类型一：简单的最值问题 例1：将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12； 再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC= =13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm． 所以h的取值范围是11≤h≤12． 故选C 类型二：蚂蚁爬行的最短距离（圆柱） 例1：如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【分析】 这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解. 【详解】 底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm， 展开图如图所示，连接AB， ∵BC=8cm，AC=6cm， ∴ 故选C． 例2：如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高3cm，盒底周长为8cm，盒外一只蚂蚁在底部处，想吃到盒内对侧处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是_______cm． 【答案】 【分析】 如图，将圆柱侧面展开为矩形，则蚂蚁爬行路线为AP+BP，作点A关于DE的对称点M，连接BM，交DE与P，则AP+BP=BM，此时蚂蚁爬行的路线最短．在Rt△ABM中，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图，将圆柱侧面展开为矩形，则蚂蚁爬行路线为AP+BP，作点A关于DE的对称点M，连接BM，交DE与P，则AP+BP=BM，此时蚂蚁爬行的路线最短． 由对称的性质得ME=AE=3cm，AB=AC=4cm， 在Rt△ABM中，cm． 故答案为： 【点睛】 本题考查了根据勾股定理求最短距离问题，理解圆柱的侧面展开图，并画出图形，构造直角三角形是解题关键． 举一反三 1、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】 把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】 把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示， 作点A的对称点B， 连接PB， 则PB为所求， 根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B. 【点睛】 本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键. 类型二：蚂蚁爬行的最短距离（长方体） 例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】 将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】 解：由题意， 如图所示， 得； 如图所示， 得， 如图3所示， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是10． 故答案为：10. 【解答】 本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键． 举一反三： 1、如图，长方体的长AB=5cm，宽BC=4cm，高AE=6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）． （1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？ （2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？ 【答案】（1）三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是cm，5cm，cm；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】 （1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S甲，S乙，S丙的值即可； （2）比较S甲，S乙，S丙的值即可得到答案． 【详解】 解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段， ∵长AB=5cm，宽BC=4cm，高AE=6cm， ∴EF=AB=5cm，GF=BC=EH=4cm，AE=BF=CG=6cm， ∴图1：S甲=（cm） 图2：S乙=（cm）， 图3：S