第6讲 用公式法和因式分解法求解-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第6讲 用公式法和因式分解法求解 1．了解公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法和因式分解法解一元二次方程； 2．掌握运用公式法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为： ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 【知识拓展1】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1） ； （2） ； （3） ． 参考答案：（1）∵ ，∴ 原方程有两个不相等的实数根． （2）原方程可变形为： ．∵ ， ∴ 原方程有两个相等的实数根． （3）原方程可变形为： ．∵ ， ∴ 原方程没有实数根。 【即学即练1】当 取何值时，关于 的方程 （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解： （1）当 ，即 时，方程有两个不相等的实数根. （2）当 ，即 时，方程有两个相等的实数根. （3）当 ，即 时，方程没有实数根. 【知识拓展2】当 取何值时，关于 的方程 有实数根？并求出这时方程的根（用含 的代数式表示）． 解： 当 时，即 时，方程有实数根. 这时，方程的根是 ， 即 ． 【即学即练2】已知关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值及这时方程的根． 解：把原方程化为 . 因为方程有两个相等的实数根，所以 由 ，得 ，解得 或 把 代入原方程，得 ，即 ， 这时原方程的根是 . 把 代入原方程，得 ，即 ， 这时原方程的根是 ． 【知识拓展3】用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案与解析】 (1) ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． (2)原方程化为一般形式，得． ∵ ，，， ∴ ． ∴ ，即，． 【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤 是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若 是非负数，用公式法求解． 【即学即练3】用公式法解方程 【答案】原方程化为一般形式，得． ∵ ∴ ∴ , 即 【知识拓展4】．用公式法解下列方程： (1)； (2) ． 【答案与解析】 (1)∵ ，，，， ∴ ． ∴ ，． (2)原方程可化为． ∵ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公 式可求出方程的根． 【即学即练4】用公式法解方程：5x2﹣4x﹣12＝0． 【答案】解：5x2﹣4x﹣12＝0， ∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣12， ∴， ∴ ∴ 知识点02 因式分解法解一元二次方程 【知识拓展1】用因式分解法解下列方程： (1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0． 【答案与解析】 (1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0． ∴ x+2＝0或3x+4＝0， ∴ x1＝-2，． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0， ∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x1＝1，x2＝-4． 【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必 须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式 法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解． 【知识拓展2】解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)． 【答案与解析】 (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0， (2