4.3.2 第二课时 等比数列前n项和性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

第二课时　等比数列前n项和性质 类比等差数列，等比数列中Sn有什么函数特性？ Sn、S2n－Sn、S3n－S2n还成等比数列吗？ 1．灵活运用等比数列的前n项和公式． 2．掌握等比数列前n项和性质的应用． 3．培养学生数学运算、逻辑推理素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若数列{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成等比数列，公比为qn(q≠－1)． 2．数列{an}是公比为q的等比数列，若项数为2n(n∈N*)，则＝q． 3．若某数列{an}的前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，则{an}为等比数列． 4．在数列{an}中，若其前n项和为Sn，则Sn＝Sn－1＋an(n≥2)． 5．若数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则{an}为等比数列． [独立思考] 1．对任意等比数列{an}，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，成立吗？ 提示：当q＝－1时，n为偶数时，Sn＝0，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列． 2．若等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1)，那么A用q怎么表示？ 提示：由Sn＝， qn＋＝－ ∴A＝. 　等比数列前n项和的性质及应用 [小组探究] 　等比数列{an}的前n项和Sn＝3×2n＋a，a的值确定吗？ [互动探究] 例1►　(1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A．40　　 B．60　　　C．32　　 D．50 【解析】　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 【答案】　B (2)在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30. 【解】　法一　设{an}的公比为q，显然q≠1. 由已知条件可列出方程组 两式作商得1＋q10＝3，∴q10＝2， ∴S30＝(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.＝ 法二　由性质Sm＋n＝Sn＋qn·Sm得， S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，∴q10＝2， ∴S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. 法三　运用性质(q≠±1)．＝ 由已知条件S10＝10，S20＝30，易得q≠±1， ∴， ＝ 即.∴q10＝2. ＝ 又，解得S30＝70.＝ 法四　运用性质Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列． ∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 而S10＝10，S20＝30， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)，∴S30＝70. eq \a\vs4\al() 解决有关等比数列前n项和的问题，要合理运用其性质，并注意运用： (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0，0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列． (2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．(qn－1)(q≠1)，设A＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝ (3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解． [合作交流] 1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝(　　) ＝3，则 A．2　　 B．　　　 C.　　 D．1或2 解析：设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴，故选B.＝＝ 答案：B 2．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 解析：由题意，知 ∴＝2.＝∴公比q＝ 答案：2 　等差、等比数列前n项和的综合问题 [小组探究] 　若{an}是等比数列，且an>0，那么{lg an}是什么数列？ 若{an}是等差数列，那么{2an}是什么数列？ [互动探究] 例2►　设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6