4.2.2 第一课时 等差数列求和-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第一课时　等差数列求和 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ (展示三角形图案) 1．探索并掌握等差数列的前n项和公式． 2．能利用等差数列的前n项和公式求和及其他有关问题． 3．培养学生数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝　① Sn＝na1＋　② 2.等差数列的前n项和公式的推导(倒序相加法) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 倒序得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1， 两式相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)， 由等差数列的性质得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1， 所以有Sn＝　①. 又an＝a1＋(n－1)d，代入①式，得Sn＝na1＋　②. [独立思考] 1．等差数列前n项和Sn的公式①与公式②有什么共同点和不同点？ 提示：分析Sn＝d还需要知道d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．还需要知道an，公式Sn＝na1＋d两个公式可得，它们的共同点是需要知道a1和n，不同点是公式Sn＝和Sn＝na1＋ 当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便； 当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便． 在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质． 2．等差数列中，相等吗？表示什么意义？与 提示：，表示等差数列前n项的平均数. ＝ 　与等差数列前n项和有关的基本量的计算 [小组探究] 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋3，那么S10＝________，Sn＝________． [互动探究] 例1►　(1)在等差数列{an}中，已知d＝，求a1和n. ，Sn＝－，an＝ 【解】　由题意得 解得 (2)已知等差数列{an}的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项． 【解】　设等差数列的首项为a1，公差为d. 依题意，有 解得 所以a21＝a1＋20d＝1＋20×2＝41. (3)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. ①设Sk＝2 550，求a和k的值； ②设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值． 【解】　设{an}的公差为d，由已知，得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a. 又2a2＝a1＋a3，∴8＝a－1＋2a，即a＝3， ∴a1＝2，d＝a2－a1＝2. ①由Sk＝ka1＋×2＝2 550，即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)， d，得2k＋ ∴a＝3，k＝50. ②由Sn＝na1＋×2＝n2＋n， d，得Sn＝2n＋ ∴bn＝＝n＋1. 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， ∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝2n2＋2n. ＝ eq \a\vs4\al() a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． [合作交流] 1．在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　　) A．55　　　 B．11　　　　 C．50　　　 D．60 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A. 答案：A 2．在数列{an}中，an＝2n＋3，求这个数列自第100项到第200项之和S的值． 解：用求和公式Sn＝求S200和S99，然后相减或者构造新数列再用求和公式． 法一　由an＝2n＋3， ∴a1＝2＋3＝5，a99＝201，a200＝403. ∴S200＝＝40 800， S99＝＝10 197， ∴S＝S200－S99＝30 603. 法二　由于an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2. 所以数列{an}是公差为2的等差数列，数列自第100项到第200项仍是等差数列，共有101项，所以和S＝×101＝30 603.×101＝ 　求数列{|an|}的前n项和 [小组探究] 等差数列{an}的通项公式为an＝10－n，其前n项和为Sn，那么{|an|}还是等