4.2.2 第二课时 等差数列前n项和性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

第二课时　等差数列前n项和性质 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图(1)所示)，将1，2，…，9填入3×3的方格内(如图(2)所示)，使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15，这个方阵叫做3阶幻方．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n的方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等，这个方阵叫做n(n≥3)阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn，如N3＝15，那么Nn如何计算？ 1．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用． 2．能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想． 3．培养数学建模、数学运算、数学抽象、逻辑推理的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　与等差数列的前n项和Sn有关的性质： (1)等差数列的依次每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． (2)①若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)且S偶－S奇＝nd，．＝ ②若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)且S奇－S偶＝an，．＝ (3)若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于是等差数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、S′n为它们的前n项和，则. ＝ (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝. ＝ [独立思考] 1．若一个等差数列含有2n＋1项(n∈N*)，其奇数项的和与偶数项的和之比为多少？ 提示：.＝ 2．若一个等差数列含有2n项(n∈N*)，则为多少？ 提示：. ＝ 　等差数列前n项和性质的应用 [小组探究] 　等差数列{an}共有2n＋1项，已知an＋1，能确定S2n＋1吗？ [互动探究] 例1►　(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列的前11项和S11＝(　　) A．58　　　　　　　　　　 B．88 C．143 D．176 【解析】　利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88. 【答案】　B (2)有两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn和Tn.若等于________．，则＝ 【解析】　由{an}，{bn}是等差数列，.＝＝，不妨设Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(n＋2)(k≠0)，则an＝3k＋4k(n－1)＝4kn－k，bn＝3k＋2k(n－1)＝2kn＋k.所以＝ 【答案】　 (3)等差数列{an}中，S10＝310，S20＝1 220，求S30. 【解】　法一　设{an}的公差为d，前n项和为Sn， 由题意得解得 ∴S30＝30a1＋×6＝2 730.d＝30×4＋ 法二　设Sn＝An2＋Bn(A、B为常数，A2＋B2≠0)， 由题意得解得 ∴S30＝302A＋30B＝900×3＋30×1＝2 730. 法三　∵{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，即310，1 220－310，S30－1 220成等差数列， ∴S30－1 220＝2×(1 220－310)－310， ∴S30＝2 730. (4)有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为10.5，试求此数列的首项、公差和项数． 【解】　法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)， 由已知得所以 即解得 因为S2k＝2ka1＋×2k(2k－1)d＝8a1＋42， 所以8a1＋42＝54，故a1＝， 所以此数列的首项是，项数为8.，公差是 法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)， 根据题意，得即 即解得 所以此数列的首项为，项数为8. ，公差为 eq \a\vs4\al() 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． 利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． 利用S奇与S偶的关系求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用＝an＋b(a≠0)进行计算．是关于n的一次函数，设 [合作交流] 1．已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列的前3m项和为________． 解析：法一　依据题设和前n项和公式有 ②－①得ma1＋d＝70， ∴S3m＝3ma1＋＝3×70＝210.d＝3 法二　在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． ∴30，70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋S