3.1.1 椭圆及其标准方程-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】

3.1.1 椭圆及其标准方程 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知两定点 ､，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知 ，“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．圆心在 轴上的圆C与椭圆 在 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为（ ） A． B． C． D． 4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆 ， ，动圆 满足与 外切且 与内切，若 为 上的动点，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共2小题，每小题5分，共10分） 6．已知F为椭圆 的左焦点，A，B为E的两个顶点.若 ，则E的方程为（ ） A． B． C． D． 7．椭圆 的左焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则 的值可能是（ ） A．1 B．3 C．6 D．10 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 8．已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点F为直线 与x轴的交点，且在经过点F的所有弦中，最短弦的长度为 ，则C的方程为_______． 9．动圆 过定点 ，且内切于定圆 ： ，动圆圆心 的轨迹方程为________． 10．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 的方程为 ，其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点 ，则 __________. 四、解答题（共2小题，每小题15分，共30分） 11．已知P是椭圆 ＋ ＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程 12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在 轴上，中心为坐标原点，经过点 ， . （2）以点 ， 为焦点，经过点 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知两定点 ､，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据斜率公式可得 ，化简即可得到答案； 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：D. 2．已知 ，“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先求出方程 表示椭圆的充要条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】 解：若方程 表示椭圆，则 ，解得 且 ， 所以“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B 3．圆心在 轴上的圆C与椭圆 在 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意画出图形，可判断四边形 是正方形，由椭圆和圆的对称性 为椭圆的下顶点，则圆的半径就是过焦点的弦 的长度，设 ，在直角三角形 中利用勾股定理求得 可得. 【详解】 如图，设圆心为 ，切点分别为 ，圆在 处的切线分别为 ，其中 为两条切线的交点，则根据题意可得 ，则四边形 是正方形， 由椭圆和圆的对称性可得直线 的斜率分别为 ，因此 为椭圆的下顶点，于是圆的半径就是过焦点的弦 的长度，连接 ， 设 ，则 ， 在直角三角形 中，有 ， 即 ，解得 ， 因此所求半径的长为 . 故选：D. 【点睛】 关键点睛：解决本题得关键是判断出 为椭圆下顶点，将求半径转化为求弦 长度. 4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意设椭圆 的标准方程为 ( )，由面积为 可得： ，根据离心率 再结合 之间的关系即可得解. 【详解】 设椭圆 的标准方程为 ( )，焦距为 ， 则： 解得 故选：D 5．已知圆 ， ，动圆 满足与 外切且 与内切，若 为