专题07 一次函数的规律探究问题-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题07 一次函数的规律探究问题 例1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴上，点，，…，在直线上，若点的坐标为，且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，，．．，，则可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，…，都是等边三角形， ∴，， ∵直线与轴的成角，，∴，∴， ∵，∴， 同理，…，，∴，，…，， 易得，…，，∴，，…，， ∴，，…，； 故选：D． 例2如图,已知直线的解析式为,在点作轴的垂直交直线于点,以为边作第个正在方形,在轴上,的延长线交直线于点,以为边作第2个正在方形,……;按此作法继续下去,则第个正在方形的边长为________． 【答案】 【解析】由题意可知:点 ,,, ,在直线的图象上,即,,,,, 又∵点的坐标为 ,∴; ; ; ， , ∴, 故答案为:． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________． 【答案】（，0）. 【解析】如图，过点N作NM⊥x轴于M， 将代入直线解析式中得∴，45° ∵90°，∴ ∵，∴，∴的坐标为（2，0） 同理可以求出的坐标为（4，0），同理可以求出的坐标为（8，0） 同理可以求出的坐标为（，0），∴的坐标为（，0） 故答案为：（，0）. 例4.如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】∵AB⊥y轴，点B（0，3）， ∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，得：，得：x=-4，即A（-4，3）， ∴OB=3，AB=4，OA==5， 由旋转可知：OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4， ∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12， ∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129， 设B21（a，），则OB21=，解得：或（舍）， 则，即点B21的纵坐标为， 故答案为：． 课后训练 1．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝___． 【答案】． 【解析】根据题意， ∵A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n）， ∴， ， ，…… ∴；∴． 故答案为：． 2．如图，正方形，，，…按其所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，则点的横坐标是______． 【答案】 【解析】当x=0时，y=x+1=1，∴A（0，1），∴直线与x轴的交点（-1，0）， ∵四边形是正方形，∴ ∴B1（1，1）， 易得均是等腰直角三角形， 可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍， 因此：B2的横坐标为1+1×2=1+2=20+21=3=22-1， B3的横坐标为1+1×2+2×2=1+2+4=20+21+22=7=23-1， B4的横坐标为24-1， B5的横坐标为25-1，…… B2021的横坐标为22021-1， 故答案为：22021-1． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，……依此类推，则正方形A2B2C2D2的面积为___________；正方形AnBnCnDn的面积为__________． 【答案】 （）n−1， 【解析】∵直线l为正比例函数y＝x的图象， ∴∠D1OA1＝45°，∴D1A1＝OA1＝1， ∴正方形A1B1C1D1的面积＝1＝（）1−1， 由勾股定理得，OD1＝，D1A2＝，∴A2B2＝A2O=， ∴正方形A2B2C2D2的面积＝＝（）2−1，同理，A3D3＝OA3＝， ∴正方形A3B3C3D3的面积＝＝（）3−1，… 由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积＝（）n−1， 故答案是：，（）n−1． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，点，，…，在直线上，点，，，…，在轴的