【机构秘籍】小学奥数题库《数论》位值原理与进制-位值原理-1星题（含解析）全国通用版

数论-位值原理与进制-位值原理-1星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 位值原理 B 1、了解位值原理的定义 2、能够掌握位值原理表达式的书写方法 3、能够运用位值原理解决综合数论问题 少考 知识提要 位值原理 · 定义 同一数字，由于它在所写的数里位置不同，所表示的数值也不同。也就是说每一个数字除了有自身的一个值外还有一个“位置值”。例如：个位上的数字代表几个一，十位上的数字代表几个十，百位上的数字代表几个百， 这种数字和数位结合起来表示数的原理，称为数的位值原理。 · 表达式： 精选例题 位值原理 1. 填空： （1）    ； （2）          ． 【答案】    （1），； （2），，，，． 【分析】    （1）； （2）． 2. 填空： （1）       ； （2）        ． 【答案】    （1），，； （2），，，． 【分析】    （1）； （2）． 3. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 4. 填空： （1）       ； （2）       ． 【答案】    （1），，； （2），，． 【分析】    （1）； （2）． 5. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 6. 三个互不相同的数字，可以组成 个不同的三位数，知道这 个三位数的和为 ，那么这三个数字的和为  ． 【答案】     【分析】     所以 所以 7. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 8. 计算：  ． 【答案】    ． 【分析】    观察算式，我们可以去考虑数字“，，，”分别有多少个．所以 9. 填空： （1）   ； （2）    ； （3）      ． 【答案】    （1）； （2），； （3），，． 【分析】    （1）； （2）； （3）． 10. 填空： （1）       ； （2）    ； （3）          ． 【答案】    （1），，； （2），； （3），，，，． 【分析】    （1）； （2）； （3）． 11. 计算： （1）  ； （2）  ． 【答案】    （1）； （2）． 【分析】    利用位值原理将数拆开． （1） （2） 12. 有 个数 、、、，它们的平均数是 ，则  ． 【答案】     【分析】     即 即 ，所以 ． 13. 填空． （1）  ； （2）  ； （3）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 （3） 所以 14. 与 的差被 除，商等于   与   的差． 【答案】     【分析】    设 ，． 15. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 16. 四位数 可通过下面的变换变成 ： 现在有一个四位数，通过以上方法变换成 ，那么原来的这个四位数是  ． 【答案】     【分析】    设原来这个四位数是 ，则有 ，，即 ，，解得 ，，，，所以原来这个四位数是 ． 17. 填空． （1）  ； （2）  ． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 18. 填空： （1）         ； （2）         ． 【答案】    （1），，，； （2），，， 【分析】    （1）； （2） 19. （1）       ； （2）用数字 ，， 各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是  ． 【答案】    （1），，；（2） 【分析】    （1），，； （2） 所以 20. 填空． （1）          ； （2）     ． 【答案】    （1），，，， （2）， 21. 某三位数 和它的反序数 的差被 除，商等于   与   的差． 【答案】     【分析】    本题属于基础型题型．不妨设 ． ． 22. 计算： 的结果是  ． 【答案】    ． 【分析】    位值原理主要研究对应数位上的数值，观察算式，我们可以算出数字“，，，，，，”分别有多少个．所以， 23. 将一个数 的小数点向右移动两位，得到数 ，那么 是 的  倍．（结果写成分数形式） 【答案】     【分析】    将 的小数点向右移动两位则 变成 倍，即 ，那么 ，， 是 的 倍． 24. 填空． （1）  ； （2）  ； （3）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 （3） 所以 25. 某个两位数的各位数字的和是 ，个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小 ，则原数是  ． 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为：，根据题意有：，即 ，由于 ，解得：．所以原数为 ． 26. 如果一个三位数是去掉百位数字后剩下的两位数的 倍，则称这样的数为“学而思数”．请写出所有的“学而思数”：  ． 【答案】     【分析】    方法一：设“学而思数”为 ，由“学而思数”的定义，有 ，由位值原理得 ． 化简得：，显然 ， 则（1）当 时：； （2）当 时：； （3）当 时：； 所以，所有的“学而思数”为：． 方法二：原三位数是 的倍数，则后两位也是 的倍数；原三位数又是后两位的 倍，所以三位数是 的倍数，则后两位只能是 ，所以学而思数有 个：． 27. 已知两位数 与 的比是 ，则  ． 【答案】     【分析】     所以 ． 28. 填空． （1）  ； （2）  ． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 29. 计算：  ． 【答案】     【分析】    原式中千位、百位、十位、个位都各出现一次 、、、，每个数位数字和是10，所以， 30. 计算：  ． 【答案】     【分析】     31. 填空． （1）  ；（2）   ； （3）  ；（4）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3）；（4） 【分析】    （1）看看这个数和刚才的数有什么不同了？对了，是一个三位数重叠两次就变成了一个六位数，那么这个六位数怎么就可以用“”来表示的呢？ 看看下面的分析： （2）同上，如果一个三位数重复了两边，那么这个重叠数就可以写成 的形式，所以 （3）根据上面两道例题可以发现一个三位数重叠了两次变成了一个六位数，那么这个六位数就可以用这个三位数乘 来表示，即：，那么反之一个三位数乘 ，就可以得到这个三位数重叠两次的这样的一个答案． 想一想，为什么？ （4）通过观察发现是一个四位数乘以 ，通过以上题目可以看出一个规律， 是四位数，而 中间是三个 ，那么恰好符合重叠数的特点，所以直接可以写成 32. 把 这 个数相加，所得和的个位数字是  ，十位数字是  ，百位数字是  ． 【答案】     【分析】    个位和为： 个位数字为：． 十位和为： 十位数字为：． 百位和为： 百位数字为：． 33. —辆汽车以不变的速度在行驶，司机看了三次里程表，如下图所示，由此可知汽车每小时行驶  千米． 【答案】     【分析】    汽车每小时行驶的路程 ； 又有汽车每小时行驶的路程 ． 于是有 ，即 ． 又根据题意可知 、 肯走是 的整数，且不同为 ，所以，只能是 ，． 所以汽车每小时行驶 千米． 34. 一个三位数，其反序数也是一个三位数，用这个三位数减去它的反序数得到的差大于 ，且为 的倍数，满足条件的三位数有  个． 【答案】     【分析】    设这个三位数是 ，则它的反序数为 ．于是有 ，即 ，整理得 为 的倍数，即可知 是 的倍数即可，但是不能使这两个三位数的差为 ，所以分别有 共六组． 得取值是 到 ，每组中分别有 个，满足条件的三位数共有 ． 35. 、，各表示一个两位数，若 ，则  ． 【答案】     【分析】    和的个位为 ，不会发生进位 ，十位明显进位 ，所以 ． 36. 某自然数等于它的各位数字之和的 倍，这个自然数是  ． 【答案】     【分析】    由大小推断出这个自然数是三位数，设为 ，则 化简得： 所以 、、，所求的自然数是 ． 37. 填空． （1）  ；（2）   ； （3）  ．（4）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3）；（3） 【分析】    （1）观察可以发现，这里六位数中 重叠出现了三次，那么就可以用 乘 表示．为什么？ （2） （3）通过观察可以发现这个重叠数是由 重叠了 次写成的，那么根据前面的方法就可以拆成了 ，自己试着写一写推导过程吧！ （4） 【注意】有几个 这个两位数就重叠几次， 和 之间有 个 ． 38. 填空． （1）  ；（2）   ； （3）  ；（4）  ； 【答案】    （1）；（2）；（3）；（4） 【分析】    （1）观察“”这个数，这里 重叠了写了两次，变成了一个四位数，这样的数就叫重叠数．那么这个四位数就可以用 表示． 想一想为什么可以这样呢？ （2） 通过观察发现 这个数中， 重复了两次，那么这个数就可以写成一个两位数乘以 的形式，所以可以写成 （3）根据上面两道例题可以看出一个两位数重叠了两次变成了一个四位数，那么这个四位数就可以用这个两位数乘 来表示，即：，那么反之一个两位数乘 ，就可以得到这个两位数重叠两次的这样的一个答案． 想一想：为什么会这样呢？ （4） 根据 ，逆向运用， 39. 填空． （1）       ； （2）      ； （3）        ； （4）     【答案】    （1），， （2），， （3），，， （4）， 40. 一个四位数 扩大 倍后，变成了 ，这个四位数是  ． 【答案】     【分析】    根据题意， 的个位数字是 ，知道 ， 的个位数字是 ，所以 ， 的个位数字是 ，所以 ，因此这个四位数是 ． 41. 某八位数形如 ，它与 的乘积形如 ，则七位数 应是  ． 【答案】     【分析】    设 则 即七位数应是 ． 42. 下图的计数器三个档上各有 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，按数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字不同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是  ． 【答案】     【分析】    上面这个数是下面三位数的倍数，假设下面的三位数为：，上面的数是下面数的倍数，所以上面的数可以写成：．计数器三个档上各有 个算珠，所以上下两数之和为： 把 分解质因数： 因为上面的三位各位数字均不同，所以下面的数可以是： 上面的数是： 43. 填空： （1）； （2）； （3）． 【答案】    （1），，； （2），，，； （3）， 44. （1）用数字 ，， 各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？ （2）三个互不相同的数字，可以组成 个不同的三位数，知道这 个三位数的和为 ，那么这三个数字的和为多少？ 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 所以 45. 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”．例如， 就是一个巧数，因为 ．则在所有的两位数中，请你写出所有的巧数． 【答案】    、、、、、、、、． 【分析】    设这个巧数是 ，则有 ，，所以 ．满足条件的巧数有：、、、、、、、、． 46. 在一个两位数的两个数字中间加一个 ，所得的三位数比原数大 倍，求这个两位数． 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为 ，由题意 ，，，由于 、 都为小于 的正整数，所以 ，则这个两位数为 ． 47. 有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是 ．求这个四位数． 【答案】     【分析】    由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前．如果小数点加在十位数之前，所得的数是原来四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数 应该是原来四位数的 倍，原来的四位数是 ．类似地，如果小数点加在百位数之前，得数 应是原来四位数的 倍，小数点加在千位数之前，得数 应是原来四位数的 倍．但是 和 都不是整数，所以只有 是唯一的答案． 48. 填空： （1）      ； （2）     ． 【答案】    （1），，； （2），． 【分析】    （1）； （2）． 49. 一个两位数，各位数字的和的 倍比原数大 ，求这个两位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为 ，根据题意有 ，整理得 ，由于 、 都为小于 的正整数，推知 ．所以这个两位数是 ． 50. 填空： （1）         ； （2）         ． 【答案】    （1），，，； （2），，，． 【分析】    （1）； （2）． 51. 有一个三位数是 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 ．请问：原来的三位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设这个三位数为 ，根据题意可得 ．那么 ，推知 ．由于 是 的倍数，所以 必为偶数，这样的三位数有 ，，，，其中 的倍数只有 ，所以原来的三位数是 ． 52. 的百位数字为 ，去掉 后是 ，．这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是？ 【答案】    ，， 【分析】    设零巧数为 因此有 ，即 因此 是小于 的偶数因此所有的零巧数为 ，，． 53. 一个两位数等于它的各位数字和的 倍，求这个两位数． 【答案】    ． 【分析】    由已知 ，，．由于 为 之间数字，则 ．那么，这个两位数为 ． 54. 一个两位数等于它的数字和的 倍，求这个两位数． 【答案】     【分析】    设这个两位数为 ，根据题意得 ，化简得 ，由于 都是 之间的数字且 不能为 ，所以只有 ． 55. 在一个两位数的两个数字中间加一个 ，所得到的三位数是原数的 倍，这个两位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，利用位值原理展开解方程即可． 56. 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 ，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设个这两位数为 ．根据题意有 ，．所以 ，两位数尽量大，那么 ．所以 最大是 ． 57. （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】    ． 【分析】    略． 58. 若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的 倍，则这个两位数称为“巧数”，例如：，则 是一个“巧数”，则在所有的两位数中，哪些数是“巧数”？ 【答案】    ，，，． 【分析】    解：设这个两位数为 ，根据题意 ，即 ，因为 ， 是不为 的一位数，所以 ， 即，当 时，，则此两位数为 ； 当 时，，则此两位数为 ； 当 时，，则此两位数为 ； 当 时，，则此两位数为 ． 59. 一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是 ．试求两个数的差． 【答案】    ． 【分析】    ，所以差为 的倍数，并且差的个位是 ，所以两数差为：． 60. 一个两位数的两个数字之和为 ，如果将个位数字和十位数字对调后再加上 ，仍得原数，求这个两位数． 【答案】     【分析】    设原数的个位上的数字为 ，则十位上的数字为 ，原数可表示为 ；将原数的个位数字和十位数字对调后所得的两位数可表示为：． 依题意得 解得： 把 代入后可得 61. 一个两位数，加上 以后，十位数字正好与个位数字互换位置．原来的这个两位数是多少？请写出所有可能． 【答案】    、、、 【分析】    设原来这个两位数是 ，则有 ，即 ，解得 ，因此满足条件的所有两位数是 、、、． 62. 巧算 ． 【答案】     【分析】     63. 由 个不同数字能组成 个互异的三位数，这 个三位数的和是 ．求所有这样的 个三位数中最小的三位数． 【答案】     【分析】    设满足条件的最小三位数为 ，则由 、、 组成的其他 个三位数为：、、、、，于是这 个数的和为 所以 ，于是最小的 为 ． 所以所有这样的 个三位数中最小的三位数是 ． 64. 在一个两位质数的两个数字之间，添上数字 以后，所得的三位数比原数大 ，那么原数是多少？ 【答案】     【分析】    设这个两位质数是 ，则在数字之间添上 ，变为 ，有 即 所以 ，要求 为质数，所以只能是 ．即原数是 ． 65. 一个 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 位数．已知这两个 位数的和是以下五个数中的一个：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．这两个 位数的和到底是多少？ 【答案】     【分析】    设这个 位数是 ，最新的 位数是 ，两个数的和为 ，右边是 的倍数，所以两个 位数之和为 的倍数． 题目中的五个数只有 能被 整除，这两个四位数的和为 ． 66. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它比原来的两位数小 ，那么原来的两位数最小是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，化简后有 ，最小是 ． 67. 有一个五位数，在它后面写上一个 ，得到一个六位数；在它前面写上一个 ，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的 倍，那么这个五位数是  ． 【答案】     【分析】    设五位数是 ，那么第一个六位数是 ，第二个六位数是 ．依题意列方程 ，解得 ． 68. 试说明一个 位数，原序数与反序数的和一定是 的倍数． （如 为原序数，对应的反序数为 ，它们的和 是 的数） 【答案】    见解析． 【分析】    设原序数为 ，则反序数为 ，则 因为等式的右边能被 整除，所以 能被 整除． 69. 一个三位数与他的各个数位之和是 ，求这个三位数． 【答案】    ． 【分析】    设这个三位数为 ，，．解得 ，，，这个三位数为 ． 70. 一个两位数的两个数字之和为 ，如果将个位数字和十位数字对调后再减去 ，仍得原数，求这个两位数． 【答案】     【分析】    设原数的个位上的数字为 ，则十位上的数字为 ，原数可表示为 ；将原数的个位数字和十位数字对调后所得的两位数可表示为：． 依题意得 解得： 原数是 ． 71. 一个四位数恰好等于它各位数字和的 倍，则这个四位数是多少？ 【答案】    ； 【分析】    这个四位数是 ，则 ． 因 ，所以 是 的倍数，则数字和也是 的倍数， 数字和的可能是：、、、、．逐一试验． 数字和是 ，则数是：，不符； 数字和是 ，则数是：，符合； 数字和是 ，则数是：，符合； 数字和是 ，则数是：，不符． $