【机构秘籍】小学奥数题库《数论》位值原理与进制-位值原理-2星题（含解析）全国通用版

数论-位值原理与进制-位值原理-2星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 位值原理 B 1、了解位值原理的定义 2、能够掌握位值原理表达式的书写方法 3、能够运用位值原理解决综合数论问题 少考 知识提要 位值原理 · 定义 同一数字，由于它在所写的数里位置不同，所表示的数值也不同。也就是说每一个数字除了有自身的一个值外还有一个“位置值”。例如：个位上的数字代表几个一，十位上的数字代表几个十，百位上的数字代表几个百， 这种数字和数位结合起来表示数的原理，称为数的位值原理。 · 表达式： 精选例题 位值原理 1. 计算： （1）  ； （2）  ． 【答案】    （1）； （2）． 【分析】    利用位值原理将数拆开． （1） （2） 2. 计算：  ． 【答案】    ． 【分析】    观察算式，我们可以去考虑数字“，，，”分别有多少个．所以 3. 某三位数 和它的反序数 的差被 除，商等于   与   的差． 【答案】     【分析】    本题属于基础型题型．不妨设 ． ． 4. 已知两位数 与 的比是 ，则  ． 【答案】     【分析】     所以 ． 5. 填空． （1）  ； （2）  ； （3）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 （3） 所以 6. 填空． （1）  ； （2）  ； （3）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 （3） 所以 7. 计算： 的结果是  ． 【答案】    ． 【分析】    位值原理主要研究对应数位上的数值，观察算式，我们可以算出数字“，，，，，，”分别有多少个．所以， 8. 如果一个三位数是去掉百位数字后剩下的两位数的 倍，则称这样的数为“学而思数”．请写出所有的“学而思数”：  ． 【答案】     【分析】    方法一：设“学而思数”为 ，由“学而思数”的定义，有 ，由位值原理得 ． 化简得：，显然 ， 则（1）当 时：； （2）当 时：； （3）当 时：； 所以，所有的“学而思数”为：． 方法二：原三位数是 的倍数，则后两位也是 的倍数；原三位数又是后两位的 倍，所以三位数是 的倍数，则后两位只能是 ，所以学而思数有 个：． 9. 填空： （1）       ； （2）       ． 【答案】    （1），，； （2），，． 【分析】    （1）； （2）． 10. 填空： （1）         ； （2）         ． 【答案】    （1），，，； （2），，， 【分析】    （1）； （2） 11. 有 个数 、、、，它们的平均数是 ，则  ． 【答案】     【分析】     即 即 ，所以 ． 12. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 13. 四位数 可通过下面的变换变成 ： 现在有一个四位数，通过以上方法变换成 ，那么原来的这个四位数是  ． 【答案】     【分析】    设原来这个四位数是 ，则有 ，，即 ，，解得 ，，，，所以原来这个四位数是 ． 14. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 15. 填空． （1）          ； （2）     ． 【答案】    （1），，，， （2）， 16. 三个互不相同的数字，可以组成 个不同的三位数，知道这 个三位数的和为 ，那么这三个数字的和为  ． 【答案】     【分析】     所以 所以 17. 、，各表示一个两位数，若 ，则  ． 【答案】     【分析】    和的个位为 ，不会发生进位 ，十位明显进位 ，所以 ． 18. 下图的计数器三个档上各有 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是  ． 【答案】     【分析】    上面这个数是下面三位数的倍数，假设下面的三位数为：，上面的数是下面数的倍数，所以上面的数可以写成：． 计数器三个档上各有 个算珠，所以上下两数之和为： 把 分解质因数： 因为上面的三位各位数字均不同，所以下面的数可以是： 上面的数是： 19. 填空： （1）       ； （2）    ； （3）          ． 【答案】    （1），，； （2），； （3），，，，． 【分析】    （1）； （2）； （3）． 20. 一个三位数除以 所得的商等于这个三位数各位数字之和，那么这个三位数是  ． 【答案】    ． 【分析】    设这个三位数为 ，根据题意可得：，，由 可知：，所以 ，，所以 ，这个三位数是 ． 21. 填空： （1）       ； （2）        ． 【答案】    （1），，； （2），，，． 【分析】    （1）； （2）． 22. 填空． （1）       ； （2）      ； （3）        ； （4）     【答案】    （1），， （2），， （3），，， （4）， 23. 填空． （1）  ； （2）  ． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 24. 将一个数 的小数点向右移动两位，得到数 ，那么 是 的  倍．（结果写成分数形式） 【答案】     【分析】    将 的小数点向右移动两位则 变成 倍，即 ，那么 ，， 是 的 倍． 25. 填空． （1）  ； （2）  ． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 26. 有 个不同的数字，用它们组成 个不同的三位数，如果这 个三位数的和是 ，那么这 个数字分别是  ． 【答案】    ，， 【分析】    设三个数字分别为 、、，那么 个不同的三位数的和为： =1554，所以 ，由于这三个数字互不相同且均不为 ，所以这三个数中较小的两个数至少为 ，，而 ，所以最大的数最大为 ；又 ，所以最大的数为 ，其他两数分别是 ，． 27. 计算：  ． 【答案】     【分析】    原式中千位、百位、十位、个位都各出现一次 、、、，每个数位数字和是10，所以， 28. （1）       ； （2）用数字 ，， 各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是  ． 【答案】    （1），，；（2） 【分析】    （1），，； （2） 所以 29. 填空． （1）  ；（2）   ； （3）  ；（4）  ； 【答案】    （1）；（2）；（3）；（4） 【分析】    （1）观察“”这个数，这里 重叠了写了两次，变成了一个四位数，这样的数就叫重叠数．那么这个四位数就可以用 表示． 想一想为什么可以这样呢？ （2） 通过观察发现 这个数中， 重复了两次，那么这个数就可以写成一个两位数乘以 的形式，所以可以写成 （3）根据上面两道例题可以看出一个两位数重叠了两次变成了一个四位数，那么这个四位数就可以用这个两位数乘 来表示，即：，那么反之一个两位数乘 ，就可以得到这个两位数重叠两次的这样的一个答案． 想一想：为什么会这样呢？ （4） 根据 ，逆向运用， 30. 和 分别表示两位数和三位数，如果 ，则  ． 【答案】     【分析】    位值原理展开可得： 的值只能取 ，则 此时 31. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 32. 填空．  ． 【答案】     【分析】     所以 33. 填空： （1）    ； （2）          ． 【答案】    （1），； （2），，，，． 【分析】    （1）； （2）． 34. 某个两位数的各位数字的和是 ，个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小 ，则原数是  ． 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为：，根据题意有：，即 ，由于 ，解得：．所以原数为 ． 35. 与 的差被 除，商等于   与   的差． 【答案】     【分析】    设 ，． 36. 已知三位数 ，并且 ，，则这个三位数是  ． 【答案】     【分析】    由题意得 则 可得 的值为 或 ，经分析得 ，． 37. 填空． （1）  ；（2）   ； （3）  ；（4）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3）；（4） 【分析】    （1）看看这个数和刚才的数有什么不同了？对了，是一个三位数重叠两次就变成了一个六位数，那么这个六位数怎么就可以用“”来表示的呢？ 看看下面的分析： （2）同上，如果一个三位数重复了两边，那么这个重叠数就可以写成 的形式，所以 （3）根据上面两道例题可以发现一个三位数重叠了两次变成了一个六位数，那么这个六位数就可以用这个三位数乘 来表示，即：，那么反之一个三位数乘 ，就可以得到这个三位数重叠两次的这样的一个答案． 想一想，为什么？ （4）通过观察发现是一个四位数乘以 ，通过以上题目可以看出一个规律， 是四位数，而 中间是三个 ，那么恰好符合重叠数的特点，所以直接可以写成 38. —个人 年的年龄恰好等于他出生年的数字的和．那么这个人 年的年龄是  ． 【答案】     岁或 岁 【分析】    ① 设这个人的出生年为 ，根据题意 化简得：． 所以 ，因为 ，所以 ．从而 推出 ，．这个人的年龄为 ． ② 设这个人的出生年为 ，根据题意 ． 这个人的年龄为 ． 39. 一个三位数 的三个非零数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数 ，这个三位数 是  ． 【答案】     【分析】    设这个最大三位数为 ，那么最小三位数为 ，于是 ．三位数 是 的倍数，所有可能值如下：、、、、、、、．代入题中检验，得 ． 40. 把 这 个数相加，所得和的个位数字是  ，十位数字是  ，百位数字是  ． 【答案】     【分析】    个位和为： 个位数字为：． 十位和为： 十位数字为：． 百位和为： 百位数字为：． 41. 填空： （1）   ； （2）    ； （3）      ． 【答案】    （1）； （2），； （3），，． 【分析】    （1）； （2）； （3）． 42. 三位数 比三位数 小 ，若 、、 彼此不同．则 最大是  ． 【答案】     【分析】    由题意 则有 ，要 最大，如果 ，那么 ，剩下 最大取 ，所以 最大是 ． 43. 已知 比 大 ，则三位自然数 与 的差是  ． 【答案】     【分析】     44. 小髙家的电话号码是一个六位数，其中左边三个数字是由小到大的 个连续自然数．右边三个数字都相同， 个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是  ． 【答案】     【分析】    详解：设六位数为 ，则 ，即 ，，所以 ，，六位数为 ． 45. 甲数各位数之和是 ，乙数各位数字之和是 ，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有两次借位．那么甲乙两数之差的各位数字之和是  ． 【答案】     【分析】    甲有两次借位，每次借位，数字和加 ，所以甲乙两数之差的各位数字之和是 ． 46. —辆汽车以不变的速度在行驶，司机看了三次里程表，如下图所示，由此可知汽车每小时行驶  千米． 【答案】     【分析】    汽车每小时行驶的路程 ； 又有汽车每小时行驶的路程 ． 于是有 ，即 ． 又根据题意可知 、 肯走是 的整数，且不同为 ，所以，只能是 ，． 所以汽车每小时行驶 千米． 47. 一个三位数，其反序数也是一个三位数，用这个三位数减去它的反序数得到的差大于 ，且为 的倍数，满足条件的三位数有  个． 【答案】     【分析】    设这个三位数是 ，则它的反序数为 ．于是有 ，即 ，整理得 为 的倍数，即可知 是 的倍数即可，但是不能使这两个三位数的差为 ，所以分别有 共六组． 得取值是 到 ，每组中分别有 个，满足条件的三位数共有 ． 48. 若 ，则这样的 有  个． 【答案】     【分析】    （1）通过位值原理可得： （2）根据 的个位数字 可知： 的个位一定是 ；又因为 最大值均不超过 ，因此 可得 一定是 ． （3）分析 有多少种情况： 因为 、 都出现在第一位上，因此均不可能为 ． 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； 因此每种组合对应着一种情况，故 存在 个不同的数． 49. 一个年龄在 岁之间的孩子把自已的年龄写在他父亲年龄的后面成为一个四位数，从这个四位数中减去父子的年龄之差得到 ，孩子与父亲的年龄之和等于  ． 【答案】     【分析】    设孩子的年龄为 ，父亲的年龄是 ，根据题意有 ，所以 ，，所以孩子和父亲的年龄和为 ． 50. 的百位数字为 ，去掉 后是 ，，这样的 位数称为“零巧数”，那么所有的“零巧数”有  ． 【答案】    、、 【分析】    设零巧数为 ，因此有 ，即 ，，因此 是小于 的偶数，因此所有的零巧数是 、、． 51. 一个十位数字是 的三位数．等于它的各位数字之和的 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的  倍． 【答案】     【分析】    令这个三位数为 ，则由题意可知，，可得 ，而调换个位和万位之后变为：，而 ，则得到的新三位数是它的各位数字之和的 ． 52. 由 个 中的不同数字能组成 个不同的三位数，如果这 个三位数的和是 ，则此三位数中最小的一个是  ． 【答案】     【分析】    能组成六个三位数说明里面没有 ，三个数字不重复，由位值原理，，所以这个数字为 、、，则这些三位数中最小的是 ． 53. 下边的加法运算，答案 正好和上面的加数 数字顺序相反．如果选出另一个三位数加上 后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的位数还有（除去 ）   个． 【答案】     【分析】    设这样的位数为 ，则有 ，有 ，则 ．有 ，而十位数字可以从 中任意取，所以三位数共有 个，除去 还有 个 54. 一个四位数 扩大 倍后，变成了 ，这个四位数是  ． 【答案】     【分析】    根据题意， 的个位数字是 ，知道 ， 的个位数字是 ，所以 ， 的个位数字是 ，所以 ，因此这个四位数是 ． 55. 某自然数等于它的各位数字之和的 倍，这个自然数是  ． 【答案】     【分析】    由大小推断出这个自然数是三位数，设为 ，则 化简得： 所以 、、，所求的自然数是 ． 56. 规定：．已知 ，相同字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．则  ． 【答案】     【分析】    由 得 故 57. 填空． （1）  ；（2）   ； （3）  ．（4）  ． 【答案】    （1）；（2）；（3）；（3） 【分析】    （1）观察可以发现，这里六位数中 重叠出现了三次，那么就可以用 乘 表示．为什么？ （2） （3）通过观察可以发现这个重叠数是由 重叠了 次写成的，那么根据前面的方法就可以拆成了 ，自己试着写一写推导过程吧！ （4） 【注意】有几个 这个两位数就重叠几次， 和 之间有 个 ． 58. 有一个四位数．将它的数码顺序倒排后得到一个新的四位数，加上原来的四位数后再加上 ，得到计算结果，甲的答案是 ，乙的答案是 ，丙的答案是 ，丁的答案是 ．如果四人中有一个人的计算是正确的，那么这个人是  ． 【答案】    甲 【分析】    设原来的四位数是 ，根据题意有 ，是 的倍数，所以四人答案减 后应是 的倍数，经检验只有甲正确． 59. 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如 的逆序数为 ．如果一个两位数等于其逆序数与 的平均数，这个两位数是  ． 【答案】     【分析】    设这个两位数为 ，则其逆序数为 ，根据题意有：， 所以 ，即 ，得 ． 可见 为奇数，而且 ．得到 ． 可能为 或 ． 代入 可知只有当 时 是整数，所以所求的两位数为 ． 60. 下图的计数器三个档上各有 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，按数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字不同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是  ． 【答案】     【分析】    上面这个数是下面三位数的倍数，假设下面的三位数为：，上面的数是下面数的倍数，所以上面的数可以写成：．计数器三个档上各有 个算珠，所以上下两数之和为： 把 分解质因数： 因为上面的三位各位数字均不同，所以下面的数可以是： 上面的数是： 61. 计算：  ． 【答案】     【分析】     62. 个互不相同的非零自然数的平均数是 ，若将其中一个两位数 换成 （， 是非零数字），那么，这 个数的平均数变成 ，所有满足条件的两位数 共有  ． 【答案】     【分析】    平均数增加 则总数增加 即 化简得 即 比 大 ， 且 和 ，， 所以答案有 ，，，， 共 个． 63. 某八位数形如 ，它与 的乘积形如 ，则七位数 应是  ． 【答案】     【分析】    设 则 即七位数应是 ． 64. 计算：  ． 【答案】     【分析】     65. 学生问数学老师的年龄．老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄．”老师今年  岁． 【答案】     【分析】    设这个三位数为 ， 岁． 66. 一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了 元，她知道实际收钱不会错．只能是记账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔账实际收到的现金是  元． 【答案】     【分析】    说明账面比现金小数点右移了右移了 若右移 位，则增加 倍，恰好 ， 若右移了 位，则增加 倍，但 不能整除 ，所以实际收到现金 元． 67. 三位数 除以它的各位数字和的余数是 ，三位数 除以它的各位数字和的余数也是 ．如果不同的字母代表不同的数字，且 ，那么 =  ． 【答案】     【分析】    ，故 ，但 必定不是 的倍数，否则 是 的倍数， 的余数必为 的倍数．故 ， 是质数，且 ，故 必为 的倍数． 若 则 ，，又 互不相同，，故 ； 若 ，则 ，，又 互不相同，，故 ，但此解并未满足 的要求，故知此种情况无解． 综上，本题有唯一答案 ． 68. 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”．例如， 就是一个巧数，因为 ．则在所有的两位数中，请你写出所有的巧数． 【答案】    、、、、、、、、． 【分析】    设这个巧数是 ，则有 ，，所以 ．满足条件的巧数有：、、、、、、、、． 69. 在一个两位数的两个数字中间加一个 ，所得到的三位数是原数的 倍，这个两位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，利用位值原理展开解方程即可． 70. 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于 ，则所有这样的四位数之和为多少？ 【答案】    ． 【分析】    设这样的四位数为 ， ，即 ，则 或 ． （1）若 ，则 ，得 ，，； （2）若 ，则 ，由于 ，所以 ，所以 ，故 为 ，，则 为偶数，且 ，故 ，由 为偶数知 ，，； 所以，这样的四位数有 和 两个，其和为：． 71. 一个四位数的数码都是由非零的偶数码组成，它又恰是某两个偶数码组成的数的平方．问这个四位数是多少？ 【答案】     【分析】    设这个四位数为 ，其为 的平方，因为 只能取 、、、、，所以 平方后的个位为 、、．即 为 或 ． 而 中的十位数字 只能取 、、 这三个数，不然平方后得到的不是 位数． 验证有 满足． 72. 有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是 ．求这个四位数． 【答案】     【分析】    由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前．如果小数点加在十位数之前，所得的数是原来四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数 应该是原来四位数的 倍，原来的四位数是 ．类似地，如果小数点加在百位数之前，得数 应是原来四位数的 倍，小数点加在千位数之前，得数 应是原来四位数的 倍．但是 和 都不是整数，所以只有 是唯一的答案． 73. 一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行 次所得的新数连同原来的六位数共 个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的 倍， 倍， 倍， 倍， 倍， 倍，求这个六位数． 【答案】     【分析】    方法一：，，，，，． 对应有 ，，，，，，它们依次是 的 、、、、、 倍． 且只用了 、、、、、 这 个数字，满足题意． 所以这个六位数为 ． 方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为 ，不然 的 倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为 ，那么 个六位数中必定存在一个数为 ． 而个位数字 ，只能由 ， 或 得到．但是 只能对应为 ，所以只能是 得到．即 ． 于是，我们不难递推出 为 ， 为 ， 为 ， 为 ，所以这个六位数为 ． 方法三：部分同方法二，． 那么有 解得 ． 所以这个六位数为 ． 74. （1）用数字 ，， 各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？ （2）三个互不相同的数字，可以组成 个不同的三位数，知道这 个三位数的和为 ，那么这三个数字的和为多少？ 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1） 所以 （2） 所以 所以 75. 一个两位数等于它的各位数字和的 倍，求这个两位数． 【答案】    ． 【分析】    由已知 ，，．由于 为 之间数字，则 ．那么，这个两位数为 ． 76. 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有 的四位数 ，它比新数中最大的小 ，比新数中最小的大 ．求这个四位数． 【答案】     【分析】    设组成这个四位数的四个数码为 ，，，（）， 则有 可得 则 ，，，，，且 的四位数字分别为 、、、，由于 的个位数字为 ，所以 ， 中有一个为 ，但 ，所以 不能为 ，故 ，，． 77. 一个两位数，各位数字的和的 倍比原数大 ，求这个两位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为 ，根据题意有 ，整理得 ，由于 、 都为小于 的正整数，推知 ．所以这个两位数是 ． 78. 若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的 倍，则这个两位数称为“巧数”，例如：，则 是一个“巧数”，则在所有的两位数中，哪些数是“巧数”？ 【答案】    ，，，． 【分析】    解：设这个两位数为 ，根据题意 ，即 ，因为 ， 是不为 的一位数，所以 ， 即，当 时，，则此两位数为 ； 当 时，，则此两位数为 ； 当 时，，则此两位数为 ； 当 时，，则此两位数为 ． 79. 从 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数．若这六个三位数之和是 ，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 【答案】    ，． 【分析】    设三个数字分别为 、、，那么 个不同的三位数的和为： ， 推知 ．所以，当 、、 取 、、 时，它们组成的三位数最小为 ，最大为 ． 80. 一个三位数与他的各个数位之和是 ，求这个三位数． 【答案】    ． 【分析】    设这个三位数为 ，，．解得 ，，，这个三位数为 ． 81. 一个两位数等于它的数字和的 倍，求这个两位数． 【答案】     【分析】    设这个两位数为 ，根据题意得 ，化简得 ，由于 都是 之间的数字且 不能为 ，所以只有 ． 82. 在一个两位数的两个数字中间加一个 ，所得的三位数比原数大 倍，求这个两位数． 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为 ，由题意 ，，，由于 、 都为小于 的正整数，所以 ，则这个两位数为 ． 83. 巧算 ． 【答案】     【分析】     84. 一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是 ．试求两个数的差． 【答案】    ． 【分析】    ，所以差为 的倍数，并且差的个位是 ，所以两数差为：． 85. 在等式“”中，相同的汉字表示相同的数字，不同汉字表示不同数字，其中“五”表示“”，“月”表示“”，那么“祝福母亲节”所表示的五位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设“”为 ，“”为 ，则有：，即：，化简得：，并且 中没有重复数字，尝试得知：五位数是 ． 86. ，，， 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足 ，那么满足条件的 是多少？ 【答案】     或 ． 【分析】    由于 ，整理后可得：； 先看 ， 只有等于 或 ，如果 ，， 最大为 ，， 最大是 ，所以 是不成立的． 所以只能 ， 那么 ，，如果 则 ，如果 则 ． 所以满足条件的 是 或 ． 87. 有三个数字能组成 个不同的三位数，这 个三位数的和是 ，求所有这样的 个三位数中最小的三位数． 【答案】    ． 【分析】    设三个数字分别为 、、，那么 个不同的三位数的和为： 所以 ，最小的三位数的百位数应为 ，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为 ，此时十位数为 ，所以所有这样的 个三位数中最小的三位数为 ． 88. 由 个不同数字能组成 个互异的三位数，这 个三位数的和是 ．求所有这样的 个三位数中最小的三位数． 【答案】     【分析】    设满足条件的最小三位数为 ，则由 、、 组成的其他 个三位数为：、、、、，于是这 个数的和为 所以 ，于是最小的 为 ． 所以所有这样的 个三位数中最小的三位数是 ． 89. 有一个三位数是 的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 ．请问：原来的三位数是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设这个三位数为 ，根据题意可得 ．那么 ，推知 ．由于 是 的倍数，所以 必为偶数，这样的三位数有 ，，，，其中 的倍数只有 ，所以原来的三位数是 ． 90. （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】    ． 【分析】    略． 91. 填空： （1）         ； （2）         ． 【答案】    （1），，，； （2），，，． 【分析】    （1）； （2）． 92. a ，， 分别是 中不同的数码，用 ，， 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是 ，那么另一个三位数是几？ 【答案】    ． 【分析】    由 ，， 组成的六个数的和是 ．因为 ，所以 ． 若 ，则所求数为 ，但 ，不合题意． 若 ，则所求数为 ，但 ，不合题意． 若 ，则所求数为 ，，符合题意． 若 ，则所求数为 ，但 ，不合题意． 若 ，则所求数 ，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有 时符合题意，所求的三位数为 ． 93. 填空： （1）； （2）； （3）． 【答案】    （1），，； （2），，，； （3）， 94. 一个两位数等于它的数字和的 倍，这个两位数可能是多少？． 【答案】    ． 【分析】    设这个两位数为 ，根据题意得 ，化简得 ．由于 都是 之间的数字且 不能为 ，所以这个两位数可能是 ． 95. 一个两位数的两个数字之和为 ，如果将个位数字和十位数字对调后再减去 ，仍得原数，求这个两位数． 【答案】     【分析】    设原数的个位上的数字为 ，则十位上的数字为 ，原数可表示为 ；将原数的个位数字和十位数字对调后所得的两位数可表示为：． 依题意得 解得： 原数是 ． 96. 在一个两位数的两个数字之间加一个 。所得的三位数是原数的 倍，求这个两位数． 【答案】    ． 【分析】    由题意，，即：，化简得：．由于 是 至 中的某个数字， 是 至 中的某个数字，那么只能是 ．因此原来的两位数就是 ． 97. 在一个两位质数的两个数字之间，添上数字 以后，所得的三位数比原数大 ，那么原数是多少？ 【答案】     【分析】    设这个两位质数是 ，则在数字之间添上 ，变为 ，有 即 所以 ，要求 为质数，所以只能是 ．即原数是 ． 98. 在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的 倍，那么这样的三位数最小是多少？最大是多少？ 【答案】    ． 【分析】    根据分析，设 为 ，由位值原理得：，化简得：．其中 有 三种情况． 当 时， 那么当 时，三位数最小，为 ；当 时，三位数最大，为 ． 当 时， 那么当 时，三位数最小，为 ；当 时，三位数最大，为 ． 当 时， 那么当 时，三位数最小，为 ；当 时，三位数最大，为 ． 综上所述，可知所有这样的三位数中，最小的是 ，最大的是 ． 99. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它与原来的两位数的和是 ，那么原来的两位数是多少？ 【答案】     或 ． 【分析】    ，化简后有 ，只能是 ． 100. 红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字．小明将这 张卡片如图所示放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的 倍的差．结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 ．问红、黄、蓝 张卡片上各是什么数字？ 【答案】    、、 【分析】    设这个四位数为 ，其中 、、、 依次代表红、黄、白、蓝． 有 而 的数字和为 ，所求的差为： 即 因为 均为小于 的自然数，所以 ． 即红、黄、蓝 张卡片上的数字分别为 、、． 101. 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是 ，试求它们的差． 【答案】     【分析】    设原三位数是 ，交换后是 ，有： 或者 因为差的个位数字是 ，所以 ，或者 ．即差是 ． 102. 填空： （1）      ； （2）     ． 【答案】    （1），，； （2），． 【分析】    （1）； （2）． 103. 把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原来的数大 ，那么原来的三位数最大可以是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设原来的三位数为 ，根据题意有 ，化简后得到 ．那么 和 只能分别是 和 ， 的取值是任意的．那么原来的三位数最大就是 ． 104. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它比原来的两位数小 ，那么原来的两位数最小是多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，化简后有 ，最小是 ． 105. 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），新数比原数大 ．求原来的四位数． 【答案】     【分析】    设原数为 ，则新数为 ， 根据题意，有 推知 ，，得到 ，，，，原数为 ． 106. 十进制的正整数 ，它的九进制表示为一个三位数 ，它的六进制表示也是一个三位数 ．和请问 的十进制表示是什么？ 【答案】     【分析】    ；． 所以 ，于是 ． 因为 是 的倍数， 也是 的倍数．所以 也必须是 的倍数，则 也是 的倍数，所以， 或 ． ① 若 ，则 ，即 ；由于 ，并且 、 都不为 ，所以 ，，但是在 、 进制下，不可以有一个数字为 ． ② 若 ，则 ，即 ；考虑两边除以 的余数，可知 除以 余 ，那么 除以 余 ，所以 或者 （ 为整数）．因为有 进制．所以不可能有 或者 以上的数字，于是 ． 那么 ，可得 ． 于是 ． 107. 在等式“”中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．那么，“”这个六位数等于多少？ 【答案】    ． 【分析】    ，化简后有 ，那么有 ． 108. 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 ，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设个这两位数为 ．根据题意有 ，．所以 ，两位数尽量大，那么 ．所以 最大是 ． 109. 一个 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 位数．已知这两个 位数的和是以下五个数中的一个：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．这两个 位数的和到底是多少？ 【答案】     【分析】    设这个 位数是 ，最新的 位数是 ，两个数的和为 ，右边是 的倍数，所以两个 位数之和为 的倍数． 题目中的五个数只有 能被 整除，这两个四位数的和为 ． 110. 巧算 ． 【答案】     【分析】    ． 111. 有一个五位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数．再与这个五位数相加，得数是 ．求这个五位数是多少？ 【答案】     【分析】    首先分析，小数点加在了哪一位．两数和小数点后有两位数字，那么可以判断，只能是 或 或 ， 如果是第一种情况，那么有： 无解． 如果是第二种情况，那么有： 满足条件． 如果是第三种情况，那么 ，显然 无解． 所以这个五位数为 ． 112. 若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“”中，“”所表示的六位数最小是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设“”为 ，“”为 ，根据题意有 ，化简后得 ．考虑到 和 都是三位数，且没有重复数字，可求出 最小是 ， 最小是 ． 113. 请找出符合下列性质的四位数： （）它是一个平方数；（）开始两位的数字要相同；（）最末两位的数字要相同． 【答案】     【分析】    设四位数为 ．因 ，要 是完全平方数，则 整除，故 ， 只能是 ，，，，，，，． 由于 被 除的商必须是完全平方数，只有 符合．此时 ，，故所求的数为 ． 114. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字 ，得到一个三位数（例如 变成了 ），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？ 【答案】     【分析】    设满足条件的两位数为 ，则按题意插入一个数字 后的三位数是 ． 依题意有 ，按位置原理展开得 整理得 推出 或者整理得 推出 因为 比 相对较小，所以考虑 ，但发现也不好分析，所以变为 ． 若 取 时， 取 ，，， 均可； 若 取 时， 没有符合的情况； …… 依次讨论得到 可以为 ，，，，，，，，和为 ． 115. 有一个五位数，在它后面写上一个 ，得到一个六位数；在它前面写上一个 ，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的 倍，那么这个五位数是  ． 【答案】     【分析】    设五位数是 ，那么第一个六位数是 ，第二个六位数是 ．依题意列方程 ，解得 ． 116. 将数字 ，，，，， 各使用一次，组成一个被 整除的 位数，那么，这个 位数除以 的结果是多少？ 【答案】     【分析】     要求用 ，，，，， 组成一个 的倍数，其实发现 ，，，，， 组合出的数一定是 的倍数，那么只要考虑组成一个 的倍数即可，而 的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是 多的数字，后三位是 多，经过枚举尝试，很容易得到 ．那么 ． 117. 如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的 倍，则这样的三位数是多少？ 【答案】    、、． 【分析】    设这个三位数为 ，根据位值原理可得不定方程： 化简为 进而得到 当 时，，； 当 时，，； 当 时，，； 当 时，无解； 所以这个三位数为 、、． 118. 已知 ，求 的值． 【答案】     【分析】    方法一：利用位值原理直接计算： 所以，． 方法二：找规律： 所以 ．所以， 119. 一个两位数，加上 以后，十位数字正好与个位数字互换位置．原来的这个两位数是多少？请写出所有可能． 【答案】    、、、 【分析】    设原来这个两位数是 ，则有 ，即 ，解得 ，因此满足条件的所有两位数是 、、、． 120. 三位数中，有些数本身是该数的数字和的 倍，如 ，请写出所有这样的三位数． 【答案】    ，，，，，，，，，， 【分析】    设三位数是 ，整理可得 当 时， 当 时， 当 时， 121. 有些三位数：① 它的各位数字不同；② 这个数等于所有由它的各位数字所组成的两位数的和．那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？ 【答案】    ． 【分析】    设这个三位数为 （、、 各不相同）． 若 、、 全不是 ，则 ，，解得 ，，． 若 、 中有一个为 ，则 或 ， 或 ，即 或 ， 显然无解所以只有 满足条件． 122. 一个 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 位数．再将新的 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的 位数与最原先的 位数的和是以下 个数的一个： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 这两个 位数的和到底是多少？ 【答案】     【分析】    设这个 位数是 ，则最新的 位数是 ．两个数的和为 是 的倍数．在所给的 个数中只有 是 的倍数，故正确的答案为 ． 123. 有一个四位数，它的各位数字中没有 ，将它的各位数字重新排列后，可得一些新的四位数，这些新的数中最大的数比原来的四位数大 ，这些新数中最小的数比原来的四位数小 ．请问原来的四位数是什么？ 【答案】     【分析】    设原来的四位数是 ，最大的四位数为 ，则最小的四位数是 ，根据题意有 ，所以有 ，可得 ， 则 ，，，，，且 的四位数字分别为 、、，，由于 的个位数字为 ，所以 、 中有一个为 ，但 ．若 ，则 ，而 ，所以 不能为 ，故 ，，． 124. 试说明一个 位数，原序数与反序数的和一定是 的倍数． （如 为原序数，对应的反序数为 ，它们的和 是 的数） 【答案】    见解析． 【分析】    设原序数为 ，则反序数为 ，则 因为等式的右边能被 整除，所以 能被 整除． 125. 一个两位数的两个数字之和为 ，如果将个位数字和十位数字对调后再加上 ，仍得原数，求这个两位数． 【答案】     【分析】    设原数的个位上的数字为 ，则十位上的数字为 ，原数可表示为 ；将原数的个位数字和十位数字对调后所得的两位数可表示为：． 依题意得 解得： 把 代入后可得 126. 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方 【答案】     【分析】    设所求的四位数为 ，则 其中 ，．可见平方数 被 整除，从而 被 整除．因此，数 能被 整除，于是 能被 整除．但 ，以 ，于是 ，由此可知 是某个自然数的平方．对 ，逐一检验，易知仅 时， 为平方数，故所求的四位数是 ． 127. 一个四位数恰好等于它各位数字和的 倍，则这个四位数是多少？ 【答案】    ； 【分析】    这个四位数是 ，则 ． 因 ，所以 是 的倍数，则数字和也是 的倍数， 数字和的可能是：、、、、．逐一试验． 数字和是 ，则数是：，不符； 数字和是 ，则数是：，符合； 数字和是 ，则数是：，符合； 数字和是 ，则数是：，不符． 128. 六位数 能被 整除， 中的数是多少？ 【答案】     或 ． 【分析】    设六位数为 ，则 ． 因为 ，所以 的余数为 ． 又因为 ，所以 的余数为 ．则 可以是 或 ． 129. 己知：．问： 除以 的余数是几？ 【答案】     【分析】    因为 能被 整除，而 ． 有 所以 除以 的余数等于 除以 的余数 ． 130. 有一个三位数等于它的各位数字和的 倍，这个三位数是？ 【答案】     【分析】    这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为 、、，先根据这个三位数等于它的各位数字和的 倍，，由 是 的倍数，可知这个三位数 是 的倍数，根据能被 整除的数：各个数位上的数字和能被 整除，得出 是 的倍数，则 是 的倍数，所以这个三位数 是 的倍数，再根据能被 整除的数：各个数位上的数字和能被 整除，得出 是 的倍数，则方程右边是 的倍数，所以这个三位数 是 的倍数，又 ，则这个三位数 是 的倍数，而三位数中是 的倍数的数只有 个，经过检验，即可得 ． 131. 一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于 ．如果把组成它的每个数字都加上 ，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数． 【答案】     【分析】    根据题意有 即 因此 即 且 ， 都是两位数，因此 所以 原来的四位数是 132. 以多位数 为例，说明被 、、 整除的规律． 【答案】    见解析． 【分析】     因为根据整除性质知，等式右边第一个括号内的数能被 、、 整除，再根据整除性质，要判断 能否被 、、 整除，只需判断 能否被 、、 整除，因此结论得到说明． 能被 整除，不能被 和 整除． 133. 一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？ 【答案】     【分析】    设这个四位数是 ，根据题意有 即 即 所以 是 的倍数，且 是质数 ，，所以 ，原来的四位数是 ． $